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Transformation de Fourier des D-modules arithmétiques I

C. Noot-Huyghe^{∗}

Table des matières

1 Notations et Rappels  4
2 Une équivalence de catégories fondamentale  8
3 Construction de la transformation de Fourier  17
4 Calcul du transformé de Fourier du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}.  22
5 Premières propriétés de la transformation de Fourier  36
6 Premiers exemples  42
7 Considérations sur le cas algébrique.  45

Introduction

L’objet de cet article est de donner une construction de la transformation de Fourier des D-modules arithmétiques dans le cas d’un fibré vectoriel et pour les opérateurs différentiels relatifs.

Rappelons d’abord le cadre complexe de la transformation de Fourier. Introduisons l’algèbre de Weyl complexe

A_{N}(C) = \{∑_{\underline{l},\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}}\underline{x}^{l}\underline{∂}\underline{k} | a_{\underline{l},\underline{k}} ∈ C et a_{\underline{l},\underline{k}} = 0 sauf pour un nombre fini de multi − indices\}.

Cette algèbre est munie d’un automorphisme donné par F (x_{i}) = −∂_{i} et F (∂_{i}) = x_{i}. On en déduit un foncteur “Fourier formel” défini pour les A_{N}(C)-modules. C’est un résultat important de la théorie des D-modules complexes que cette transformation de Fourier formelle correspond à une transformation de Fourier géométrique définie sur les D-modules associés aux A_{N}(C)-modules. En termes d’équation différentielle, cette opération est l’opération classique de transformation de Fourier.

1This work has been supported by the research network Arithmetic Algebraic Geometry of the European Community (Programme IHP, contract HPRN-CT-2000-00120)

Le cadre correspondant p-adique est le suivant. Soit V un anneau de valuation discrète d’inégales caractéristiques (0, p), K son corps de fractions, k son corps résiduel. On suppose que K contient une racine, notée π (le ”π” de Dwork), de l’équation X^{p−1} = −p. On peut considérer la complétée faible de l’algèbre de Weyl à coefficients dans K

A_{N}(K)^{†} = \{∑_{\underline{l},\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}}\underline{x}^{l}\underline{∂}^{[\underline{k}]} | a_{\underline{l},\underline{k}} ∈ K et ∃C > 0, η < 1 tels que |a_{\underline{l},\underline{k}}| < Cη^{|\underline{l}|+|\underline{k}|}\},

où l’on note \underline{∂}^{[k_{i}]} = ∂_{i}^{k_{i}}/k_{i}!. Cette algèbre est munie d’un automorphisme F_{π} défini par F (x_{i}) = −∂_{i}/π et F (∂_{i}) = πx_{i}, ce qui permet de définir un foncteur sur la catégorie des A_{N}(K)^{†}-modules cohérents. Il faut choisir une catégorie de Dmodules p-adiques correspondant aux A_{N}(K)^{†}-modules cohérents. Nous traitons ici des D-modules arithmétiques de Berthelot, sur l’espace projectif de dimension N et à coefficients surconvergents le long du diviseur à l’infini. Pour cet article, les calculs et les résultats auraient sans doute été les mêmes avec la catégories des D-modules p-adiques introduits par Mebkhout-Narvaez-Maccarro ([MNM90]). Le point de vue de Berthelot se justifie ici par l’existence, dans le cadre de sa théorie, d’un théorème de commutation de la dualité à l’image directe, essentiel pour montrer un théorème de comparaison entre la transformation de Fourier sans support et avec support (pour lequel on renvoie à l’article en préparation [NH03]). En outre, l’une des principales applications de la tranformation de Fourier des D-modules arithmétiques se situe dans le cadre de la théorie de Berthelot. Nous donnons ensuite une définition de la tranformation de Fourier géométrique dans le cadre des D-modules arithmétiques et montrons un théorème de comparaison avec la tranformation de Fourier formelle, ce qui permet de donner quelques premières propriétés de la transformation de Fourier géométrique. Dans [Huy95a] (non publié), on donne la transformation de Fourier dans ce cadre. Nous généralisons ici cette construction et les résultats obtenus.

Soient R = SpfV, S un R-schéma formel irréductible de dimension cohomologique finie sur S (par exemple lisse), X un S-schéma formel lisse et irréductible. Soit E un fibré vectoriel sur X de rang N. Le X-schéma formel affine T = V(E) admet une compactification projective naturelle en un schéma formel Y décrite pour les schémas dans le chapitre 8 de [EGA2]. On notera q le morphisme structural de Y vers S. Le complémentaire de T dans Y est un diviseur ∞. On considère sur Y le faisceau des opérateurs différentiels arithmétiques à coefficients surconvergents le long de ∞, construit par P. Berthelot dans [Ber96b], et noté D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

Dans la première partie de cet article, on fait quelques rappels sur la théorie des D-modules arithmétiques à coefficients surconvergents le long d’un diviseur.

Dans la deuxième partie on décrit l’équivalence de catégories donnée par le foncteur q_{∗} entre la catégorie des D_{Y/S,Q}^{†}(∞) et celle des q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents. On démontre cette équivalence de catégories en donnant une filtration ad hoc du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}(∞), par des faisceaux d’algèbres acycliques pour q_{∗}. Dans le cas où le fibré vectoriel E est trivial et où S = SpfV, cela donne une équivalence de catégories entre les D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents sur Y qui est ici l’espace projectif formel de dimension N sur SpfV (vu comme compactification de l’espace affine formel de dimension N) et les A_{N}(K)^{†}-modules cohérents. Cette équivalence de catégories est au coeur du théorème de comparaison entre la transformation de Fourier géométrique et la transformation de Fourier formelle.

La troisième partie de cet article est consacrée à la construction de la transformation de Fourier. Dans le cas complexe, le noyau de la transformation de Fourier est fourni par l’image inverse par l’accouplement de dualité du module exponentiel sur la droite affine. L’analogue de ce module sera le F -isocristal de Dwork L_{π} sur la droite projective formelle, vue comme compactification de la droite affine formelle. On décrit ici complètement l’image inverse, au sens des isocristaux, du F -isocristal de Dwork, sur un ouvert de trivialisation du fibré vectoriel E par l’accouplement de dualité. C’est cette image inverse qui est le noyau de la transformation de Fourier. Ce point de vue évite d’avoir des problèmes liés aux compactifications.

Nous montrons ensuite dans la cinquième partie de cet article le théorème de comparaison entre la transformation de Fourier géométrique et la transformation de Fourier formelle. Le calcul de la transformation de Fourier du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}(∞) est crucial et fait l’objet de la quatrième partie de cet article. C’est à ce niveau que se situe la principale difficulté. Sur C, on peut facilement se ramener pour le calcul au cas de la dimension 1. Cela n’est pas possible ici et il faut en passer par un théorème de division pour terminer le calcul.

Ce théorème de comparaison permet de montrer deux résultats importants, d’abord la préservation de la cohérence par la transformation de Fourier géométrique et ensuite la préservation de l’holonomie pour les F -D_{Y/S,Q}^{†}(∞)- modules holonomes par transformation de Fourier. Ce dernier résultat est formel à partir de la caractérisation de l’holonomie obtenue par A. Virrion ([Vir00]). Nous terminons par quelques exemples de calcul de transformés de Fourier de F -isocristaux classiques.

Citons enfin la principale application de ce travail due à Baldassarri-Berthelot ([BB03]) où l’on utilise la transformation de Fourier pour comparer certains groupes de cohomologie rigide à support avec des groupes de cohomologie analytique de Dwork.

C’est Berthelot qui a eu l’idée de quelle devait être la construction de la transformation de Fourier géométrique dans le cadre des D-modules arithmétiques. Je le remercie aussi pour son insistance pour que je rédige ce travail. Je remercie aussi le referee pour son patient travail de lecture : ce texte y a indéniablement gagné en lisibilité et en clarté.

1. Notations et Rappels

On notera ξ une uniformisante de K. Pour tous les schémas formels sur R qui seront notés avec une lettre droite, on notera avec la même lettre indicée par 0, la fibre spéciale sur spec k (par exemple X_{0} sera la fibre spéciale du schéma X). Plus généralement, on note

X_{i} = X ×_{SpfV} spec(V/ξ^{i+1}V).

La notation X_{K} ou X_{K}^{an} désignera la fibre générique au sens de la géométrie rigide de X. Si E est un faisceau de groupes abéliens sur un espace topologique, E_{Q} est le faisceau E ⊗_{Z} Q.

Dans tout l’article, on supposera que X est un schéma formel lisse sur S, de dimension relative r, E un fibré vectoriel de rang N sur X, T = V(E) le schéma formel associé, Y la compactification donnée dans 8 de [EGA2] de ce schéma formel.

Si A est un faisceau d’algèbres sur un espace topologique T, nous noterons D_{coh}^{b}(A) avec la catégorie dérivée des complexes de A-modules (à gauche) à cohomologie bornée (resp. D_{coh}^{−}(A), resp. à cohomologie nulle en degré positif), D_{coh,d}^{b}(A) la catégorie dérivée des complexes de A-modules à droite à cohomologie bornée.

Pour la transformation de Fourier, on suit les conventions de décalage de la fin de [KL85].

1.1. Faisceaux d’opérateurs différentiels arithmétiques.

Nous renvoyons à [Ber96b] pour un exposé systématique de la théorie. Faisons ici seulement quelques rappels.

Commençons par introduire quelques coefficients. Si k est un entier, v_{p}(k) désigne la valuation p-adique de k et on note q_{k} le quotient de la division euclidienne de k par p^{m}. Si \underline{k} est un r-uplet d’entiers, on notera q\underline{k} = q_{k_{1}} ⋯ q_{k_{r}}. Si il y a lieu de spécifier l’entier m, on notera ces coefficients q(m) ; \underline{k} et q_{k}^{(m)} respectivement.

Il est facile de montrer les encadrements suivants, pour tout r-uplet \underline{k} d’entiers naturels

\frac{|\underline{k}|}{p − 1} − rlog_{p}(|\underline{k}| + 1) − r ≤ v_{p}(\underline{k}!) ≤ \frac{|\underline{k}|}{p − 1},

\frac{|\underline{k}|}{p^{m}(p − 1)} − rlog_{p}(|\underline{k}| + 1) − \frac{rp}{p − 1} ≤ v_{p}(q(m) ; \underline{k}!) ≤ \frac{|\underline{k}|}{p^{m}(p − 1)}.

Soit w_{1}, …, w_{r} un système de coordonnées locales relatives de X par rapport à S sur un ouvert W de X. Berthelot construit un faisceau de O_{X}-algèbres, qui est un faisceau d’opérateurs différentiels, noté D_{X}^{(m)} et décrit en coordonnées locales par

D_{X}^{(m)} = ⨁_{\underline{k}∈N^{r}} O_{X} \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}},

où l’on a noté

\underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} = \frac{q\underline{k}!}{\underline{k}!}\underline{∂}\underline{k}.

On note ensuite D̂_{X/S}^{(m)} la complétion p-adique de ce faisceau et

D_{X/S,Q}^{†} = lim_{⟶}_{m}D̂_{X/S,Q}^{(m)}.

Tous ces faisceaux sont cohérents. Sur un ouvert W muni de coordonnées locales relatives comme précédemment, on observe (2.4.4 de [Ber96b])

Γ(W, D_{X/S,Q}^{†}) = \{ ∑_{\underline{k}∈N^{r}} a\underline{k}\underline{∂}^{[\underline{k}]} | a\underline{k} ∈ Γ(W, O_{X,Q}) et ∃C > 0, η < 1 | |a\underline{k}| < Cη^{|\underline{k}|}\} ,

où la norme considérée est n’importe quelle norme d’algèbre de Banach sur l’algèbre de Tate Γ(W, O_{X,Q}). Comme on le voit, cette formule est dissymétrique en les variables et en les dérivations. Par conséquent, il n’existe pas de transformation de Fourier formelle naturelle en considérant ce faisceau. C’est pourquoi, Berthelot introduit aussi dans [Ber96b], le faisceau des opérateurs différentiels à coefficients surconvergents le long d’un diviseur.

1.2. Coefficients surconvergents sur un schéma formel.

Ces coefficients sont introduits par Berthelot dans [Ber96b] et sont définis comme suit. Soit Z ⊂ X un diviseur de Cartier relatif d’un schéma formel X (i.e. Z_{0} est un diviseur de Cartier de X_{0}), dont l’ouvert complémentaire est noté U. On note j l’inclusion de U dans X. Sur un ouvert W de X, sur lequel le diviseur Z est défini par l’équation f = 0, on pose

B_{X}^{(m)} = O_{X}[T] /f^{p^{m+1}}T − p

On vérifie que ces algèbres sont munies d’une structure de D_{X/S}^{(m)}-module.

Remarques. Ces algèbres sont des modèles sur le schéma formel X, d’algèbres des sections sur des voisinages stricts du tube de U_{0} dans la fibre générique (au sens de Raynaud) X_{K} de X. Le principe du maximum en géométrie rigide permet alors de montrer le lemme suivant, dont la démonstration détaillée est donnée en 7.2.2 de [Huy98].

Lemme 1.2.1. Soit u une section locale de B̂_{X}^{(m)}, inversible sur U, alors il existe m′ ≥ m tel que pu^{−1} ∈ B̂_{X}^{(m′)}.

Si W est un ouvert affine de X, les algèbres Γ(W, B̂_{X,Q}^{(m)}) sont des algèbres de Tate, sur lesquelles toutes les normes d’algèbres de Banach sont équivalentes (à la norme spectrale par exemple).

Pour décrire plus précisément les faisceaux B_{X}^{(m)}, nous aurons besoin de l’application ν_{m} : Z → N définie comme suit. Soit k ∈ N, q et t le quotient et le reste respectivement de la division euclidienne de k par p^{m+1}. Si t = 0, on pose ν_{m}(k) = q. Si t ≠ 0, on pose ν_{m}(k) = q + 1. On pose ν_{m}(k) = 0 si k ≤ 0. Pour un multi-indice \underline{k} de Z^{n}, on pose ν_{m}(\underline{k}) = ∑_{i=1}^{n} ν_{m}(k_{i}). Soit f une équation locale du diviseur Z, une condition suffisante pour qu’une section locale de j_{∗}O_{X}, a/f^{n}, soit dans B_{X}^{(m)} est que a ∈ p^{ν_{m}(n)}O_{X}. Donnons des encadrements de la fonction ν_{m}. Pour tout multi-indice \underline{l} ∈ N^{n}, on a les inégalités suivantes

\frac{|\underline{l}|}{p^{m+1}} ≤ ν_{m}(\underline{l}) ≤ \frac{|\underline{l}|}{p^{m+1}} + n,

0 ≤ ν_{m}(\underline{l}) − ν_{m}(|\underline{l}|) ≤ n.

Berthelot introduit enfin

O_{X}^{†} = lim_{⟶}_{m}B̂_{X}^{(m)}.

On renvoie à 4 [Ber96b] pour le lien entre les O_{X,Q}^{†}-modules cohérents et les isocristaux sur X_{K} surconvergents le long de Z. Si W est un ouvert affine de X, l’algèbre Γ(W, O_{X,Q}^{†}) n’est pas une algèbre de Tate. On considérera sur cette algèbre la norme définie par la topologie p-adique sur Γ(W, O_{X}^{†}), qui est une algèbre séparée, i.e.

|h|_{p} = p^{min{i∈Z | tel que p^{i}h∈Γ(W,O_{X}^{†})}}.

1.3. Opérateurs différentiels à coefficients surconvergents.

Avec les hypothèses du début de 1, et de 1.2 on pose

D_{X/S}^{(m)}(Z) = B_{X}^{(m)} ⊗_{O_{X}} D_{X/S}^{(m)},

D̂_{X/S}^{(m)}(Z) = B̂_{X}^{(m)} ˆ⊗_{O_{X}} D̂_{X/S}^{(m)},

et

D_{X/S}^{†}(^{†}Z) = lim_{⟶}_{m}D̂_{X/S}^{(m)}(Z).

Quand il n’y aura pas d’ambiguité, on notera ce faisceau D_{X/S}^{†}(∞). C’est un faisceau d’algèbres cohérent. On trouve le même faisceau si on le construit à partir du diviseur nZ où n ∈ N. Un résultat important est que le faisceau j_{∗}D_{U/S,Q}^{†} est

fidèlement plat à gauche et à droite sur le faisceau D_{X/S,Q}^{†}(∞) (4.3.10 de [Ber96b]).

Nous serons amenés à regarder la transformation de Fourier de F -D_{Y/S,Q}^{†}(∞)- modules holonomes. Rappelons-en la définition (cf 4.5 de [Ber00]). On suppose ici que le corps k est parfait et on se donne un relèvement σ : R → R du Frobenius absolu sur k. On suppose de plus que S = R et on considère un S-schéma formel lisse X, D_{X/S,Q}^{†} le faisceau des opérateurs différentiels de Berthelot sur ce schéma et X′ le schéma formel déduit de X par changement de base par σ.

Si on se donne un relèvement local F^{∗} du Frobenius, cela induit une équivalence de catégories entre les D_{X′/S,Q}^{†}-modules cohérents et les D_{X/S,Q}^{†}- modules cohérents. Cette équivalence de catégorie ne dépend pas du choix du relèvement du Frobenius. On peut donc définir une équivalence de catégories notée F^{∗} entre les D_{X′/S,Q}^{†}-modules cohérents et les D_{X/S,Q}^{†}-modules cohérents,

contruite à partir des relèvements locaux du Frobenius. Si M est un D_{X/S,Q}^{†}-

module cohérent, on note par abus de notation F^{∗}M le D_{X′/S,Q}^{†}-module cohérent obtenu par l’équivalence de catégories précédente (i.e. en fait F^{∗}M^{σ}, où M^{σ} est le module sur X′ obtenu par changement de base de M par σ). Avec ces hypothèses, un F -D_{X/S,Q}^{†}-module est la donnée d’un D_{X/S,Q}^{†}-module M et d’un isomorphisme

D_{X/S,Q}^{†}-linéaire φ : M ≃ F^{∗}M.

Les images directes par spécialisation de F -isocristaux surconvergents fournissent des exemples de F -D_{X/S,Q}^{†}-modules.

1.4. Images directes et inverses des D-modules à coefficients surconvergents le long d’un diviseur.

On donne ici les définitions et quelques propriétés, que nous ne montrerons pas et pour lesquelles on se reportera à [Ber03]. Dans cet article, ces propriétés ne seront pas utilisées.

On considère deux schémas formels lisses X et Y sur S, d = dimX − dimY munis de diviseurs de Cartier relatifs Z ⊂ X et T ⊂ Y. Lorsque le contexte sera clair, nous noterons ∞ à la place du diviseur Z ou T. Soit f un morphisme X → Y. Supposons que f induit un homomorphisme de faisceaux d’algèbres f^{−1}B_{Y}^{(m)} → B_{X}^{(m)} prolongeant l’homomorphisme f^{−1}O_{Y} → O_{X}. On considère f_{i} la réduction de f modulo ξ^{i+1}. On introduit alors

D_{X_{i}→Y_{i}/S}^{(m)}(∞) = B_{X_{i}}^{(m)} ⊗_{f^{−1}B_{Y_{i}}^{(m)}} f_{i}^{−1}B_{Y_{i}}^{(m)} ⊗_{O_{Y_{i}}} f_{i}^{−1}D_{Y_{i}/S}^{(m)},

D̂_{X→Y/S}^{(m)}(∞) = lim_{⟵}_{i}D_{X_{i}→Y_{i}/S}^{(m)}(∞),

qui est un D̂_{X/S}^{(m)}(Z)-module à gauche et un f^{−1}D̂_{Y/S}^{(m)}(T)-module à droite. On pose enfin

D_{X→Y/S,Q}^{†}(∞) = lim_{⟶}_{m}D̂_{X→Y/S,Q}^{(m)}(∞),

qui est un D_{X/S,Q}^{†}(^{†}Z)-module à gauche et un f^{−1}D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}T)-module à droite.

Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}T)-module à gauche cohérent (resp. un élément de D_{coh}^{−}(D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}T))) on pose alors

f^{!}M = D_{X→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{f^{−1}D_{Y /S,Q}^{†}(^{†}T)}^{L} f^{−1}M[d].

Si f est lisse, f^{!}M est alors un élément de D_{coh}^{−}(D_{X/S,Q}^{†}(^{†}Z)).

Avec les hypothèses ci-dessus, on pose D_{Y ←X/S,Q}^{†}(∞) = f^{∗}ω_{Y}^{−1} ⊗_{f^{∗}O_{Y}} D_{X→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{X}} ω_{X},

qui est un f^{−1}D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}T)-module à gauche et un D_{X/S,Q}^{†}(^{†}Z)-module à droite. Si M est dans D_{coh}^{b}(D_{X/S,Q}^{†}(^{†}Z))-module à gauche, on pose

f_{+}(M) = Rf_{∗}(D_{Y ←X/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{X/S,Q}^{†}(^{†}Z)}^{L} M).

Dans le cas où le faisceau f^{∗}B_{Y}^{(m)} est isomorphe à B_{X}^{(m)}, la même démonstration que dans le cas classique (sans pôles surconvergents) donne que que f_{+}M est dans D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}T)).

2. Une équivalence de catégories fondamentale

2.1. Quelques propriétés de certains faisceaux différentiels sur Y.

On rappelle (8 de [EGA2]) que

Y = P̂(S_{O_{X}} (E) ⨁ O_{X}z).

L’espace dual Y^{∨} est donné par l’objet analogue où l’on remplace E par E^{∨} et l’indéterminée z par z′. On considérera

Z = Y ×_{X} Y^{∨}.

Cela donne le diagramme suivant

\xymatrix{ & Z \ar[dl]_{p_{1}} \ar[dr]^{p_{2}} \\ Y \ar[dr]_{q_{1}} &  & Y^{∨} \ar[dl]^{q_{2}} \\  & X.}

On introduit sur Y et Y^{∨} les diviseurs à l’infini z = 0 et z′ = 0, notés ∞_{Y} et ∞_{Y^{∨}} (ou ∞ pour alléger les notations) et sur Z le diviseur Y × ∞_{Y^{∨}} ⋃ ∞_{Y} × Y^{∨} noté ∞_{Z} (ou ∞). On note T et T^{∨} resp. le complémentaire du diviseur ∞_{Y} dans Y (resp. dans Y^{∨}). On introduit les coefficients surconvergents sur Y, Y^{∨} et Z relativement à ces diviseurs, notés respectivement O_{Y,Q}^{†} et O_{Y^{∨},Q}^{†}. On décrit ici certains faisceaux différentiels qui interviennent sur Y (resp. Y^{∨}) et Z. Pour alléger les notations, les résultats seront donnés pour Y et on notera alors q = q_{1}, q′ la projection T → X et j l’immersion ouverte de T dans Y.

Si F est un faisceau de O_{Y} -modules (resp. Y^{∨}, resp. Z), on note

F̃ = F ⊗_{O_{Y}} O_{Y,Q}^{†}.

On a alors la proposition suivante.

Proposition 2.1.1. Il existe des isomorphismes canoniques

T̃_{Y/X,Q} ≃ { \atop q^{∗}E^{∨}}
q̃^{∗}E ≃ Ω̃_{Y/X,Q}^{1}
{ \atop q^{∗}Λ^{N}E} ≃ ω̃_{Y/X,Q}.

Démonstration. Il suffit de démontrer la deuxième assertion. Observons d’abord qu’il existe une flèche q^{−1}E → Ω̃_{Y/X,Q}^{1}. Pour cela il suffit de définir une

flèche E → q_{∗}Ω̃_{Y/X,Q}^{1}. Il est bien connu que le faisceau q′^{∗}E est canoniquement isomorphe à Ω_{T/X}^{1} via une application τ définie comme suit. Soit W, un ouvert de X tel que E_{|W} est trivial, E_{|W} ≃ O_{X}x_{1} ⨁ … ⨁ O_{X}x_{N}, alors τ(x_{i}) = dx_{i}. On en déduit un homomorphisme canonique E → q′_{∗}Ω_{T/X}^{1}.

D’autre part, il existe une injection q_{∗}Ω̃_{Y/X,Q}^{1} → q′_{∗}Ω_{T/X}^{1} et nous allons montrer

que l’application précédente est en fait à valeurs dans q_{∗}Ω̃_{Y/X,Q}^{1}, ce qui est une question locale sur X. Plaçons-nous sur un ouvert W sur lequel E est trivial, isomorphe à O_{W} x_{1} ⨁ … ⨁ O_{W} x_{N}. Dans ce cas, le choix des x_{l} induit des isomorphismes T_{|W} ≃ Â_{X}^{N} et Y_{|W} ≃ P̂_{X}^{N}, muni de coordonnées homogènes (u_{0}, …, u_{N}) tels que x_{l} = u_{l}/u_{0}. Pour montrer l’assertion, il suffit de montrer que les éléments dx_{l} sont des sections globales sur W de Ω̃_{Y/X,Q}^{1}. Si on note y_{l} = u_{l}/u_{i} , des coordonnées sur l’ouvert D_{+}(u_{i}) de Y, Y_{W} = Y_{|W}, on a la relation suivante

dx_{l} = \frac{dy_{l}}{y_{0}} − \frac{y_{l}}{y_{0}^{2}} dy_{0}.

Comme y_{0}^{−1} = u_{i}/u_{0} est un élément de Γ(Y_{W} , O_{Y,Q}^{†}(∞)), l’élément dx_{l} est dans Γ(D_{+}(u_{i}), Ω̃_{Y_{W} /W,Q}^{1}), ce qui montre la proposition.

2.2. Énoncé du théorème.

On commence par un résultat donnant la structure des D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents, généralisant le théorème principal de [Huy95c]. L’énoncé est le suivant.

Théorème 2.2.1. i Le faisceau q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞) est un faisceau cohérent de

q_{∗}O_{Y,Q}^{†}-algèbres.

ii Le foncteur q_{∗} est exact sur la catégorie des D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents

et définit une équivalence de catégories de la catégorie des D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-

modules cohérents vers la catégorie des q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents. L’équivalence inverse est donnée par le foncteur

N ↦ D_{Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{q^{−1}q_{∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)} q^{−1}N.

Démonstration. Il suffit de montrer qu’il existe un recouvrement ouvert de X (X = W_{1} ⋃ … ⋃ W_{r}) tel que le théorème soit vrai, appliqué à la restriction de q_{∗} au dessus de chaque W_{i} : q^{−1}W_{i} → W_{i}.

On considère maintenant un recouvrement ouvert de X par des ouverts affines, lisses, W_{1}, …, W_{r}, tels que le fibré E est trivial sur chaque W_{i}.

L’objet des sous-sections suivantes est de montrer que le théorème est vrai dans le cas où X est affine et lisse et où le fibré E est trivial, i.e. est un O_{X}-module libre de base fixée (x_{1}, …, x_{N}). Ce choix de coordonnées permet d’identifier les schémas T et Y, respectivement à Â_{X}^{N}, muni des coordonnées relatives (x_{1}, …, x_{N}) et P̂_{X}^{N}, muni des coordonnées homogènes relatives (u_{0}, …, u_{N}) tels que x_{l} = u_{l}/u_{0}. Avec ces notations, le diviseur à l’infini sur Y est donné par l’équation u_{0} = 0. Les opérateurs différentiels sur T relatifs par rapport à X sont notés \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}.

2.3. Démonstration dans le cas particulier où le fibré est trivial.

Dans ce cas, on va exhiber une filtration du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}(∞) par des faisceaux d’algèbres complètes ayant de bonnes propriétés cohomologiques, que l’on notera Â_{Y/S}^{(m)}. Cette filtration généralise la filtration introduite dans [Huy95c] dans le cas relatif.

Commençons par la remarque suivante

Remarque Soit m un entier. Il existe un isomorphisme canonique

D_{T}^{(m)} ≃ ⨁_{\underline{k}∈N^{N}} q′^{∗}D_{X}^{(m)}\underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}.

En effet, on a l’égalité O_{T} = O_{X}[x_{1}, …, x_{N}]. De cette égalité, on déduit qu’il existe un scindage global naturel de la suite exacte courte

0 → f^{∗}Ω_{X/S}^{1} → Ω_{T/S}^{1} → Ω_{T/X}^{1} → 0,

envoyant dx_{i} sur dx_{i} pour tout 1 ≤ i ≤ N. Choisissons (w_{1}, …, w_{r}) un système de coordonnées locales sur un ouvert W de X, et notons ∂_{w}^{⟨\underline{k}′⟩_{(m)}} ∈ D_{X/S} les

opérateurs différentiels sur X correspondant à ce choix. Notons encore ∂⟨\underline{k}′⟩_{(m)} ; \overline{w} ∈ D_{T/S} et ∂^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} ∈ D_{T/X} les opérateurs différentiels correspondant au système de coordonnées locales (w_{1}, …, w_{r}, x_{1}, …, x_{N}) sur T, par rapport respectivement aux variables (w_{1}, …, w_{r}) et (x_{1}, …, x_{N}).

Du scindage précédent, on déduit un scindage

T_{T/S} ≃ T_{T/X} ⨁ q′^{∗}T_{X/S},

qui envoie ∂\overline{w_{i}} sur ∂_{w_{i}}. On étend l’inverse de cette flèche en une injection de faisceaux de q^{−1}O_{X}-algèbres en envoyant ∂_{w}^{⟨\underline{k}′⟩_{(m)}} sur ∂⟨\underline{k}′⟩_{(m)} ; \overline{w} pour tout \underline{k}′. On vérifie facilement que cette flèche ne dépend pas du choix des w_{i} et définit une injection, dépendant de la trivialisation de E,

q^{−1}D_{X/S}^{(m)} → j_{∗}D_{T/S}^{(m)}.

On remarque aussi (en faisant des calculs en coordonnées locales) que cette injection est en fait à valeurs dans D_{Y/S}^{(m)} et permet de considérer q^{−1}D_{X/S}^{(m)} comme un

sous-faisceau de D_{Y/S}^{(m)}.

Le lemme qui suit sera utilisé pour construire un sous-faisceau du faisceau D_{Y/S}^{(m)}(∞).

Lemme 2.3.1. Les opérateurs \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} sont des éléments de Γ(Y, D_{Y/X}^{(m)}).

Démonstration. Il suffit de montrer que les opérateurs \underline{∂}^{[\underline{k}]} sont des sections globales du faisceau D_{Y/S} sur Y. Commençons par remarquer que les opérateurs \underline{∂}^{[\underline{k}]} agissent sur O_{Y}. Considérons l’ouvert U_{i} = D_{+}(u_{i}), muni des coordonnées y_{l} = u_{l}/u_{i}. Notons

\underline{y}\underline{l} = y_{0}^{l_{0}} ⋯ y_{i−1}^{l_{i−1}}y_{i+1}^{l_{i+1}} ⋯ y_{N}^{l_{N}} ,

et pour un multi-indice \underline{l} = (l_{0}, ⋯, l_{i−1}, l_{i+1}, ⋯, l_{N}), |\underline{l}| = l_{0} + ⋯ + l_{i−1} + l_{i+1} + ⋯ + l_{N}. Sur U_{i} ⋂ U_{0}, on a l’égalité

\underline{y}\underline{l} = x_{1}^{l_{1}} … x_{i−1}^{l_{i−1}}x_{i}^{−|\underline{l}|}x_{i+1}^{l_{i+1}} … x_{N}^{l_{N}} .

On en déduit les formules suivantes qui montrent la remarque.

si r = i, ∂_{i}^{[k_{i}]}\underline{y}\underline{l} = (−1)^{k_{i}} \binom{|\underline{l}| + k_{i} − 1}{|\underline{l}| − 1}y_{0}^{l_{0}+k_{i}}y_{1}^{l_{1}} … y_{N}^{l_{N}} ,
si r ≠ i, ∂_{r}^{[k_{r}]}\underline{y}\underline{l} = \binom{l_{r}}{k_{r}}y_{0}^{l_{0}+k_{r}}y_{1}^{l_{1}} … y_{r}^{l_{r}−k_{r}} … y_{N}^{l_{N}} .

Notons \underline{∂}\underline{l} ; y les opérateurs sur U_{i}/X et q′ la projection U_{i} → X. Sur U_{i} ⋂ U_{0}, il existe des éléments b\underline{l} ∈ Γ(U_{i} ⋂ U_{0}, O_{Y}) tels que

∂_{r}^{[k_{r}]} = ∑_{|\underline{l}|≤k_{r}} b\underline{l}\underline{∂}_{y}^{[\underline{l}]}.

Considérons I = \{\underline{l} |∃c\underline{l} ∈ Γ(U_{i}, O_{Y}) tel que b\underline{l} = c\underline{l}_{|U_{i} ⋂ U_{0}}\} et J l’ensemble complémentaire. Posons

P = ∂_{r}^{[k_{r}]} − ∑_{\underline{l}∈I} b\underline{l}\underline{∂}_{y}^{[\underline{l}]} = ∑_{\underline{l}∈J} b\underline{l}\underline{∂}_{y}^{[\underline{l}]}.

Cet opérateur a la propriété d’opérer sur les sections de O_{Y} (U_{i}). Si J est non vide, on peut prendre \underline{l}′ ∈ J, tel que |\underline{l}′| soit minimal dans J. Alors, si \underline{l} ∈ J tel que \underline{l} ≠ \underline{l}′, il existe s ∈ N tel que l_{s} > l′_{s}. Donc, si \underline{l} ∈ J et si \underline{l} ≠ \underline{l}′, on a l’égalité \underline{∂}_{y}^{[\underline{l}]} · \underline{y}^{\underline{l}′} = 0. Et finalement, on a la formule :

P · \underline{y}^{\underline{l}′} = b\underline{l}′ \underline{∂}_{y}^{\underline{l}′}(\underline{y}^{\underline{l}′}) ∈ O_{Y} (U_{i})
= b\underline{l}′

Ceci contredit le fait que l’ensemble J soit non vide et montre le lemme. Le lemme suivant permettra de préciser la structure du faisceau D_{Y/S}^{†}(∞).

Posons

A_{Y/S}^{(m)} = ⨁_{\underline{k}} B̂_{Y}^{(m)} ⊗_{q^{−1}O_{X}} q^{−1}D_{X}^{(m)}\underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}.

La proposition est la suivante

Proposition 2.3.2. Le faisceau A_{Y/S}^{(m)} est un sous-faisceau de B̂_{Y}^{(m)}-algèbres du

faisceau D_{Y/S}^{(m)}(∞).

Ce faisceau est naturellement un sous-faisceau de D_{T/S}^{(m)}, et en fait de D_{Y/S}^{(m)}(∞). Pour voir que c’est un faisceau d’algèbres, il faut vérifier que pour tout multi-indice \underline{k}, tout (P, b, P′) ∈ D_{X}^{(m)} × B̂_{Y}^{(m)} × D_{X}^{(m)}, le produit P \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}bP′ est un élément de A_{Y/S}^{(m)}. Il résulte du lemme que pour tout multi-indice \underline{l}, \underline{∂}^{⟨\underline{l}⟩_{(m)}}(b) ∈ B̂_{Y}^{(m)}. Les

éléments de D_{X}^{(m)} commutent avec les opérateurs \underline{∂}^{⟨\underline{l}⟩_{(m)}}. D’autre part, du fait que q^{−1}D_{X/S}^{(m)} opère sur B̂_{Y}^{(m)}, on a

q^{−1}D_{X}^{(m)}B̂_{Y}^{(m)} ⊂ B̂_{Y}^{(m)}q^{−1}D_{X}^{(m)}.

Ces remarques permettent finalement d’établir le fait suivant

P \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}bP′ ∈ ∑_{\underline{l}′≤\underline{k}} B̂_{Y}^{(m)}q^{−1}D_{X}^{(m)}\underline{∂}^{⟨\underline{l}′⟩_{(m)}}(b)\underline{∂}^{⟨\underline{k}−\underline{l}′⟩_{(m)}},

qui montre la proposition.

Posons Â_{Y/S}^{(m)} le complété p-adique du faisceau A_{Y/S}^{(m)} et

A_{Y/S,Q}^{†} = lim_{⟶}_{m}Â_{Y/S}^{(m)} ⊗ Q.

2.3.3. Résultats concernant les faisceaux d’algèbres A_{Y/S,Q}^{†}

Structure de l’algèbre graduée des algèbres A_{Y/S}^{(m)}. Remarquons tout de suite que ces faisceaux sont des faisceaux d’algèbres cohérents. En effet, les algèbres non complétées A_{Y/S}^{(m)} sont filtrées par l’ordre des opérateurs différentiels. En utilisant 1.3.7.3 de [Huy97], on voit que le gradué associé à cette filtration est isomorphe sur Y à l’algèbre symétrique de niveau m à coefficients dans B̂_{Y}^{(m)}

B̂_{Y}^{(m)} ⊗_{q^{−1}O_{X}} q^{−1}S^{(m)}(T_{X}) ⊗_{O_{Y}} S^{(m)}(O_{Y}^{N}).

Cette algèbre est noethérienne sur les ouverts affines de Y, il en est donc de même des sections sur les ouverts affines des faisceaux A_{Y/S}^{(m)} et des sections des faisceaux

complets Â_{Y/S}^{(m)} sur les ouverts affines. On observe aussi que si V est un ouvert d’un ouvert U, complémentaire d’un diviseur défini par une équation h = 0, alors Â_{Y/S}^{(m)}(V) est un module plat à gauche (et à droite) sur Â_{Y/S}^{(m)}(U). La proposition

3.3.4 de [Ber96b] permet de conclure que le faisceau Â_{Y/S}^{(m)} est un faisceau cohérent

de B_{Y}^{(m)}-algèbres.

Calculs de sections globales. Calculons les sections globales de ces faisceaux sur q^{−1}(W) où W est un ouvert de X muni de coordonnées locales w_{1}, …, w_{r}. Notons encore \underline{∂}_{w} les opérateurs différentiels relatifs aux coordonnées w_{1}, …, w_{r}. Dans notre cas, q^{−1}W s’identifie à P̂_{W}^{N}, de sorte que le même calcul qu’en 2.1 de [Huy95c], donne le résultat suivant

B̂_{Y}^{(m)}(q^{−1}(W)) = \{ ∑_{\underline{l}∈N^{N}} a\underline{l}\underline{x}\underline{l} | a\underline{l} ∈ O_{X}(W) et v_{p}(a\underline{l}) ≥ ν_{m}(\underline{l}) et v_{p}(a\underline{l}) − ν_{m}(\underline{l}) → ∞ si |\underline{l}| → +∞\} .

On en déduit les deux égalités suivantes. Dans ces égalités, les multi-indices parcourent les ensembles \underline{l} ∈ N^{N}, \underline{k}′ ∈ N^{r}, \underline{k} ∈ N^{N}.

A_{Y/S}^{(m)}(q^{−1}(W)) = \{ ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{⟨\underline{k}′⟩_{(m)}} \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} | a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ O_{X}(W) et

v_{p}(a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}) ≥ ν_{m}(\underline{l}) et v_{p}(a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}) − ν_{m}(\underline{l}) → ∞ si |\underline{l}| + |\underline{k}| + |\underline{k}′| → +∞\} , d’où, en passant à la limite inductive,

A_{Y/S}^{†}(q^{−1}(W)) = \{ \begin{matrix}∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{[\underline{k}′]}\underline{∂}^{[\underline{k}]} | a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ O_{X}(W) et \\ ∃C > 0, η < 1 tels que |a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}| < Cη^{|\underline{l}|+|\underline{k}′|+|\underline{k}|} \end{matrix} \} ,

où |.| est n’importe quelle norme sur O_{X}(W) induite par une norme de Banach sur O_{X}(W) ⊗ Q, qui est une algèbre de Tate.

Résultats d’acyclicité. On va montrer le théorème 2.2.1 pour les faisceaux A_{Y/S,Q}^{†}. On montre d’abord cet énoncé pour les faisceaux cohérents Â_{Y/S,Q}^{(m)}. Pour ces faisceaux, on procède comme en 4 de [Huy95b].

Plaçons-nous au-dessus d’un ouvert W de X, muni de coordonnées locales et posons q^{−1}(W) = Y_{W}. Alors, étant donné la formule donnée en 2.3.3, l’algèbre graduée gr^{•}A_{Y/S}^{(m)} est un B̂_{Y}^{(m)}-module libre au-dessus de W. Les faisceaux Â_{Y/S,Q}^{(m)}

ont alors les mêmes propriétés que les faisceaux Â_{Y/S,Q}^{(m)} intervenant dans la partie 4 de [Huy95b]. La proposition 4.2.3 de cet article s’applique donc aux faisceaux Â_{Y/S,Q}^{(m)} au-dessus de l’ouvert W. Soit M un module de présentation finie sur

l’algèbre Γ(q^{−1}(W), Â_{Y/S,Q}^{(m)}), notons φ le foncteur

N ↦ Â_{Y/S,Q}^{(m)} ⊗_{Γ(q^{−1}(W),Â_{Y /S,Q}^{(m)})} N.

La traduction de l’énoncé 4.2.3 dans notre cas est l’énoncé suivant

i L’algèbre Γ(q^{−1}(W), Â_{Y/S,Q}^{(m)}) est cohérente,

ii les foncteurs φ et Γ(q^{−1}(W), .) sont exacts et induisent une équivalence de catégories entre la catégorie des Γ(q^{−1}(W), Â_{Y/S,Q}^{(m)})-modules cohérents et

la catégorie des Â_{Y/S,Q}^{(m)}-modules cohérents.

Le théorème découlera finalement du théorème de comparaison suivant.

Théorème 2.3.4. i Il existe un isomorphisme de faisceaux de O_{Y}^{†} -algèbres canonique

A_{Y/S,Q}^{†} ≃ D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

ii Sur un ouvert W′ ⊂ Y_{W} où W est un ouvert de X muni de coordonnées locales w_{1}, …, w_{r} sur lequel E est trivial, de base (x_{1}, …, x_{N}), on a la description suivante

Γ(W′, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) = \{ \begin{matrix}∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{[\underline{k}′]}\underline{∂}^{[\underline{k}]} | a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ Γ(W′, O_{Y,Q}) et \\ ∃C > 0, η < 1 tels que |a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}| < Cη^{|\underline{l}|+|\underline{k}′|+|\underline{k}|} \end{matrix} \} .

En particulier, si S = X et si le fibré est trivial, on trouve que Γ(P̂_{S}^{N}, D_{Y/X,Q}^{†}(∞)) s’identifie à l’algèbre de Weyl de dimension N, à coefficients dans le faisceau O_{X}, tensorisée par K. Bien entendu, dans la description des sections globales, on peut inverser l’ordre des variables et des dérivations (car on peut le faire dans la description des faisceaux A_{Y/S}^{(m)}).

Démonstration. Le (ii) découle bien sûr de l’assertion (i). D’autre part, on a une injection canonique A_{Y/S}^{†} ≃ D_{Y/S,Q}^{†}(∞). Il reste donc à vérifier que cette flèche est surjective. La question est locale et on peut supposer que l’on est au-dessus d’un ouvert W affine de X. Soit U_{i} = D_{+}(u_{i}) ⊂ Y, muni des coordonnées y_{l} = u_{l}/u_{i} et notons ∂_{y} les opérateurs de D_{Y/X}^{(m)} correspondant à ce choix de coordonnées. Considérons M et N les deux modules O_{U_{i}}-modules libres suivants

N = ⨁_{|\underline{k}|≤p^{m}} O_{U_{i}} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}},

M = ⨁_{|\underline{k}|≤p^{m}} O_{U_{i}} \underline{∂}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}.

Il existe une injection canonique de M dans N, représentée par une matrice A ∈ M_{Np^{m}×Np^{m}}(O_{X}(U_{i})). D’autre part, en restriction à U_{0} ces deux modules s’identifient D_{U_{i}/X,p^{m}}^{(m)}, et sont donc isomorphes. On déduit du lemme 1.2.1 qu’il

existe un entier m′ tel que pdet(A)^{−1} ∈ B_{U_{i}}^{(m′)}. Sur U_{i}, cela donne le résultat suivant

∀|\underline{k}| ≤ p^{m}, p\underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} ∈ B̂_{Y}^{(m′)} ⊗ A_{Y/S}^{(m)}.

On choisit un tel m′ qui marche pour tous les ouverts U_{i} pour 0 ≤ i ≤ N. On notera que le faisceau de B̂_{Y}^{(m′)}-algèbres B̂_{Y}^{(m′)}⊗A_{Y/S}^{(m)} est un sous-faisceau de B̂_{Y}^{(m′)}-

algèbres de A_{Y/S}^{(m′)}, par la même justification qu’en 2.3.2. Comme les opérateurs

\underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} sont produit de au plus [|\underline{k}|/p^{m}] + N opérateurs d’ordre ≤ p^{m} (où [x] désigne la partie entière d’un réel x), on a l’inclusion suivante :

∀|\underline{k}| ∈ N^{N}, p^{[^{\frac{|\underline{k}|}{p^{m}}}]+N} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} ∈ B̂_{Y}^{(m′)} ⊗ A_{Y/S}^{(m)}.

Appliquons ce qui précède à m + 2. Cela signifie qu’il existe un entier m′ ≥ m + 2 tel que l’on ait l’inclusion :

∀|\underline{k}| ∈ N^{N}, p^{[^{\frac{|\underline{k}|}{p^{m+2}}} ]+N} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m+2)}} ∈ B̂_{Y}^{(m′)} ⊗ A_{Y/S}^{(m+2)}.

Rappelons maintenant la relation

\underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m+2)}} = \frac{q(m+2) ; \underline{k}!}{q(m) ; \underline{k}!}\underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}.

A partir des majorations données en 1.1, on calcule la majoration suivante :

v_{p} (\frac{q(m+2) ; \underline{k}!}{q(m) ; \underline{k}!}p^{[^{\frac{|\underline{k}|}{p^{m+2}}} ]+N}) ≤ −\frac{|\underline{k}|}{p^{m+1}} + Nlog_{p}(|\underline{k}| + 1) + \frac{N(2p − 1)}{p − 1},

quantité qui est majorée, pour tous \underline{k} par une certaine constante c ≥ 0. On en déduit que, sur tout ouvert U_{i}, pour tout \underline{k} ∈ N^{N}, on a l’inclusion

p^{c}\underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} ⊂ A_{Y/S}^{(m′)},

d’où on déduit l’inclusion p^{c}D_{Y/S}^{(m)}(∞) ⊂ A_{Y/S}^{(m′)}. Il s’ensuit la même inclusion au niveau des complétés p-adiques. Si on passe à la limite inductive sur m et si on tensorise par Q, on voit que l’on a ainsi construit une application D_{Y/S,Q}^{†}(∞) →

A_{Y/S,Q}^{†} qui est l’inverse de l’application canonique de A_{Y/S,Q}^{†} dans D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

Terminons maintenant la démonstration du théorème 2.2.1. Plaçons-nous sur un ouvert W de X, muni de coordonnées locales. En fait l’assertion de la cohérence (i) provient de l’équivalence de catégories (ii) (pour les Γ(q^{−1}(W), D_{Y/S,Q}^{†}(∞))-

modules de présentation finie) et de la cohérence de D_{Y/S,Q}^{†}(∞). Cette équivalence de catégorie se montre comme dans 5.3.3 de [Huy95b] et repose sur la remarque facile suivante. Si M est un faisceau cohérent de D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules, il existe un

entier m, un Â_{Y/S,Q}^{(m)}-module cohérent M_{m} tels que l’on ait un isomorphisme

M ≃ D_{Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗Â_{Y /S,Q}^{(m)} M_{m}.

Le (ii) du théorème provient alors des propriétés d’acyclicité des Â_{Y/S,Q}^{(m′)} pour m′ ≥ m, au-dessus de q^{−1}(W). Pour l’équivalence de catégories, on se ramène aussi facilement au cas du module D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

Enfin, nous aurons besoin du corollaire facile suivant, toujours au-dessus d’un ouvert W de X muni de coordonnées locales et sur lequel le fibré vectoriel E est trivial.

Corollaire 2.3.5. Soit M un D_{Y_{W} /S,Q}^{†}(∞)-module cohérent, alors il existe une résolution de M par des modules globalement projectifs de rang fini.

Démonstration. Il résulte de l’équivalence de catégories donnée dans le théorème précédent et de la cohérence du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}(∞) que l’algèbre

q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞) est cohérente. De plus, la même démonstration que celle de [Huy01] donnant la finitude de la dimension cohomologique de l’algèbre de Weyl A_{N}(K)^{†} donne la finitude de la dimension cohomologique de q_{∗}D_{Y_{W} /S,Q}^{†}(∞) sous nos hypothèses. Soit M comme dans l’énoncé du corollaire, alors q_{∗}M est cohérent et admet une résolution par des q_{∗}D_{Y_{W} /S,Q}^{†}(∞)-modules à gauche cohérents globalement projectifs de rang fini. En prenant l’image par φ de cette résolution, on montre l’énoncé.

2.4. Complément au théorème.

On peut compléter l’énoncé du théorème 2.2.1 grâce à la finitude de la dimension cohomologique des faisceaux D_{Y/S,Q}^{†}(∞) et q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞). Une première remarque est que le théorème vaut aussi pour les modules à droite. On peut alors énoncer une compatibilité à la dualité de l’équivalence de catégories décrite en 2.2.1.

Proposition 2.4.1. i Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module à gauche cohérent, alors il existe un isomorphisme canonique

q_{∗}Ext_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) ≃ Ext_{q_{∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(q_{∗}M, q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)).

ii Soit M dans D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), alors il existe un isomorphisme canonique

dans D_{coh,d}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))

q_{∗}RHom_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) ≃ RHom_{q_{∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(q_{∗}M, q_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)).

Démonstration. Soit M un D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))-module cohérent. L’existence d’un homomorphisme

Rq_{∗}RHom_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) → RHom_{Rq_{∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(Rq_{∗}M, Rq_{∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)),

est classique. Comme les modules Ext_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) sont des

D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules à droite cohérents, ils sont acycliques pour q_{∗}. La suite spectrale des foncteurs dérivés associée aux foncteurs Rq_{∗} et RHom dégénère en E_{2} et finalement la suite spectrale des foncteurs composés Rq_{∗}RHom dégénère en E_{2}. La question de l’isomorphisme est alors une question locale sur la base X et on peut supposer que l’on est au-dessus d’un ouvert W de X muni de coordonnées locales et sur lequel le fibré vectoriel E est trivial. Dans ce cas, le module M admet sur Y_{W} une résolution finie, par des modules globalement projectifs de rang fini. Cela nous ramène par récurence sur la longueur de la résolution projective à montrer l’assertion dans le cas où le module M est globalement projectif de rang fini, ce qui résulte du fait que c’est trivialement vrai dans le cas de D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

Le (ii) se déduit de (i) par dévissage.

3. Construction de la transformation de Fourier

3.1. Définitions.

3.1.1. Le noyau de la transformation de Fourier. Nous reprenons les notations de l’introduction. Le crochet de dualité <, > : E × E^{∨} → O_{X} s’étend canoniquement en un morphisme <, > : T × T^{∨} → Â_{X}^{1} (et au niveau des fibres spéciales T_{0} × T_{0}^{∨}). Pour alléger les notations, l’accouplement de dualité <, > sera aussi noté δ.

Soit P̂_{X}^{1} le droite projective de dimension 1 sur X, vue comme compactification de Â_{X}^{1}. Avec le choix de π qui a été fait, on peut introduire le F -isocristal de Dwork L_{π} sur la droite affine A_{X_{0}}^{1}, dont une réalisation sur P̂_{X}^{1} est décrite de la façon suivante (cf 2.2.15 de [Ber96a], dont nous reprenons les notations). Le j^{†}O_{]P_{X_{0}}^{1} [}-module sous-jacent à L_{π} est le faisceau structural j^{†}O_{]P_{X_{0}}^{1} [} et si t est la coordonnée sur A_{X_{0}}^{1}, la connexion sur L_{π} est définie par ∇(1) = −πdt. On note δ^{∗}L_{π} l’image inverse sur T_{0} ×T_{0}^{∨}, comme F -isocristal surconvergent, de l’isocristal de Dwork L_{π}. On note encore δ^{∗}L_{π} la réalisation cet F -isocristal sur l’espace rigide analytique Y_{K} ×Y_{K}^{∨} ainsi que l’image directe par spécialisation de cet isocristal sur Y × Y^{∨}, qui est un F -D_{Y ×Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent d’après 4.4.12 de [Ber96b]. Stricto sensu, la réalisation de δ^{∗}L_{π} est définie à isomorphisme canonique près. On obtient ainsi un F - D_{Y ×Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent, qui est le noyau de la transformation de Fourier. Pour rester fidèle aux conventions de [KL85], on notera K_{π} = δ^{∗}L_{π}[2 − 2N].

3.1.2. Description explicite du noyau de la transformation de Fourier dans le cas où E est trivial. Le calcul repose sur les arguments utilisés par Berthelot pour montrer que la catégorie des isocristaux surconvergents sur un schéma sur speck ne dépend pas du choix des compactifications.

Dans le cas où E est trivial, les schémas T, T^{∨}, Y et Y^{∨} s’identifient respectivement à l’espace affine sur X de dimension N, l’espace affine dual sur X, l’espace projectif sur X et l’espace projectif dual sur X. On introduira x_{1}, …, x_{N}, (resp. y_{1}, …, y_{N}) des coordonnées sur l’espace affine T (resp. sur l’espace affine dual). On notera t une coordonnée sur la droite affine Â_{X}^{1}. On notera u_{0}, …, u_{N} et v_{0}, …, v_{N} des coordonnées sur les espaces projectifs Y et Y′, telles que x_{i} = u_{i}/u_{0} et y_{i} = v_{i}/v_{0}. On notera avec un symbole an en exposant les fibres génériques (i.e. les espaces analytiques rigides) associés aux espaces affines et aux espaces projectifs. L’accouplement de dualité δ est donné, avec ce choix de coordonnées par :

\xymatrix{T_{0} × T_{0}^{∨} \ar[r] & A_{X_{0}}^{1} \\ ∑_{i=1}^{N} x_{i}y_{i} & t. \ar@{|->}[l]}

Dans la suite, on notera \underline{x} · \underline{y} = ∑_{i=1}^{N} x_{i}y_{i}. On considère le produit P = Y × Y^{∨} × P_{X}^{1}, P_{K} la fibre générique de ce schéma formel au sens de Raynaud, et l’immersion

\xymatrix{T × T^{∨} \ar[r] & Y × Y^{∨} × P_{X}^{1} \\ (\underline{x}, \underline{y}) \ar@{|->}[r] & \underline{x} · \underline{y}.}

On introduira les coordonnées homogènes [u, v] sur P_{X}^{1}, telles que t = v/u. L’image schématique de cette immersion est un sous-schéma fermé G de P (via une immersion fermée i), telle que le morphisme structural soit propre. Ce sous-schéma est défini par l’équation h′ = 0 avec

h′ = u_{0}v_{0}v − u ∑_{i=1}^{N} u_{i}v_{i}

et est lisse au voisinage de X_{0}. On notera G_{K} la fibre générique de G, qui est le sous-espace analytique rigide de P_{K} défini par l’équation h′ = 0. Dans la suite, on introduira aussi h = t − ∑_{i=1}^{N} x_{i}y_{i}, qui définit G ⋂ T × T^{∨} × A_{X}^{1}. L’immersion de T × T^{∨} dans G est ouverte, et, en notant r_{2} la projection de P sur le dernier facteur et s_{2} = r_{2} ∘ i, on a le diagramme suivant :

T × T^{∨} ↪ G_{0} ↪ G
↓ δ  ↓ s_{2}  ↓ s_{2}
A_{X_{0}}^{1}  ↪^{j_{2}} P_{X_{0}}^{1} ↪ P̂_{X}^{1}.

Il résulte de la section 2.3.2.2 de [Ber96a], que l’on peut utiliser ce diagramme pour calculer une réalisation du F -isocristal δ^{∗}L_{π}, qui est donnée par s_{2,K}^{∗}L_{π} où s_{2,K} est l’application induite par s_{2} au niveau des espaces analytiques rigides, i.e. s_{2,K} : G_{K} → P_{X_{K}}^{1,an}.

Une base de voisinages stricts de T_{0} × T_{0}^{∨} dans G_{K} est donnée par les ouverts V_{λ} = D(0, λ)^{2N+1} ⋂ G_{K}, pour λ > 1 où D(0, λ)^{2N+1} est le polydisque de dimension 2N + 1 de rayon λ dans l’espace analytique rigide P_{K}. Le système inductif de ces ouverts est équivalent au sous-système inductif des ouverts

V_{n} = D(0, p^{\frac{1}{2n}})^{2N+1} ⋂ G_{K}.

Il suffit donc finalement de calculer la restriction de δ^{∗}L_{π} à ces ouverts. Pour n fixé, l’ouvert V_{n} est affinoide et correspond aux faisceaux d’algèbres de Tate

A_{n} = O_{X_{K}} \{p\underline{x}, p\underline{x}^{2n}, p\underline{y}, p\underline{y}^{2n}, pt, pt^{n}\}/(t − \underline{x} · \underline{y}).

Ces ouverts sont de dimension 2N et sont munis des coordonnées \underline{x}, \underline{y}. Le faisceau des formes différentielles est

Ω_{V_{n}}^{1} = O_{V_{n}}d\underline{x} ⨁ O_{V_{n}}d\underline{y} ⨁ dt /dt − \underline{x}d\underline{y} − \underline{y}d\underline{x}

Une base de voisinages stricts de A_{k}^{1} dans P_{K}^{1,an} est donnée par les ouverts W_{n} = D(0, p^{1/n}) et on remarque que s_{2,K} envoie V_{n} dans W_{n}. En effet, si (\underline{x}, \underline{y}, t) ∈ V_{n}, |t − \underline{x} · \underline{y}| ≤ p^{\frac{−1}{n}}, |\underline{x}| ≤ p^{\frac{1}{2n}}, et |\underline{y}| ≤ p^{\frac{1}{2n}}, alors |t| ≤ p^{\frac{1}{n}}.

Sur V_{n}, la réalisation de δ^{∗}L_{π} est donnée par l’image inverse de la connexion définie par L_{π} sur W_{n}, c’est-à-dire par le couple (O_{V_{n}}, ∇), où ∇(1) = −πdt, soit encore ∇(1) = −π ∑_{i=1}^{N}(x_{i}dy_{i} + y_{i}dx_{i}).

On s’intéresse ici à la réalisation de δ^{∗}L_{π} relativement à la compactification par le produit des espaces projectifs de dimension N. Notons r_{1} la projection de P sur les deux premiers facteurs et notons s_{1} = r_{1} ∘ i. Considérons le diagramme suivant.

T_{0} × T_{0}^{∨} ↪  G_{0}  ↪ G
∥  ↓ s_{1}  ↓ s_{1}
X_{0} × X_{0}^{∨} ↪ Y_{0} × Y_{0}^{∨} ↪ Y × Y^{∨}.

L’application s_{1} est propre de sorte que s_{1} définit une équivalence de catégories entre les isocristaux surconvergents sur G_{K} (le long du fermé complémentaire de T_{0} × T_{0}^{∨} dans G_{0}) et ceux surconvergents sur Y_{K} × Y_{K}^{∨} (le long du fermé complémentaire de T_{0} × T_{0}^{∨}) (cf le théorème 2.3.5 de [Ber96a]). Une base de voisinages stricts de T_{0} × T_{0}^{∨} dans Y_{K} × Y_{K}^{∨} est W′_{n} = D(0, p^{\frac{1}{n}}) et il est évident que s_{1,K}(V_{n}) ⊂ W′_{2n}. On sait de plus que les sections horizontales des modules à connexion sont les mêmes. Sur l’ouvert V_{n}, les sections horizontales sont les sections de O_{V_{n}} vérifient le système d’équations :

\{ \begin{matrix}∀i, \frac{∂f}{∂x_{i}} − πy_{i} & = & 0 \\ ∀i, \frac{∂f}{∂y_{i}} − πx_{i} & = & 0. \end{matrix}

Considérons maintenant le module à connexion intégrable M_{π}, défini de la façon suivante sur Y_{K}×Y_{K}^{∨}. Le module à connexion sous-jacent est le faisceau j^{†}O_{]Y_{0}×Y_{0}^{∨}[}, muni de la connexion ∇ définie par ∇(1) = −π(∑_{i=1}^{N} x_{i}dy_{i} +y_{i}dx_{i}). On vérifie que cette connexion est intégrable et est munie d’une structure de Frobenius donnée par :

\begin{matrix}j^{†}O_{]Y_{0}×Y_{0}^{∨}[} & → & j^{†}O_{]Y_{0}×Y_{0}^{∨}[} \\ (\underline{x}, \underline{y}) & ↦ & exp(π(∑_{i=1}^{N} x_{i}y_{i} − ∑_{i=1}^{N} x_{i}^{p}y_{i}^{p})). \end{matrix}

En effet, le rayon de convergence de la série exp(π(t−t^{p})) est égal à p^{p−1/p^{2}}, de sorte que la série définissant la structure de Frobenius est un élément de j^{†}O_{]Y_{0}×Y_{0}^{∨}[}. Ceci implique que le F -isocristal M_{π} ainsi défini est surconvergent le long du diviseur complémentaire de X_{0} × X_{0}^{∨} dans Y_{0} × Y_{0}^{∨}. Comme s_{1}^{∗}M_{π} coïncide avec la réalisation de δ^{∗}L_{π} sur X_{0} × X_{0}^{∨} ⊂ G_{0} ce F -isocristal est la réalisation cherchée de δ^{∗}L_{π} sur X_{0} × X_{0}^{∨} ⊂ Y_{0} × Y_{0}^{∨}. On en déduit l’énoncé suivant.

Proposition 3.1.2.1. Avec les notations ci-dessus, la réalisation du F -isocristal δ^{∗}L_{π} est donnée pour (A_{X_{0}}^{N} × A^{N} _{X_{0}}^{∨}, P_{X_{0}}^{N} × P^{N} _{X_{0}}^{∨}), sur Y_{K} × Y_{K}^{∨} = P_{X}^{N} × P^{N} _{X}^{∨} par le faisceau j^{†}O_{]Y_{0}×Y_{0}^{∨}[} muni de la connexion surconvergente définie par ∇(1) = −π(∑_{i=1}^{N} x_{i}dy_{i} + y_{i}dx_{i}).

3.2. Définition de la transformation de Fourier.

Nous reprenons les notations de 2.1 qui fixent les diviseurs considérés sur les schémas formels Y, Y^{∨} et Z. On introduit alors les catégories D_{Y/S,Q}^{†}(∞),

D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) et D_{Z/S,Q}^{†}(∞), relatives aux diviseurs considérés. Les foncteurs cidessous seront aussi définis relativement à ce choix de diviseurs.

Si M et N sont deux complexes de D_{coh}^{b}(D_{Z/S,Q}^{†}(^{†}∞)), on note

M ˜⊗_{O_{Z,Q}^{†}}N = M⊗_{O_{Z,Q}^{†}}^{L}N [−2N].

On considère le diagramme de S-schémas formels

\xymatrix{ & Y × Y^{∨} \ar[dl]_{p_{1}} \ar[dr]^{p_{2}} \\ Y &  & Y^{∨}.}

Définition 3.2.1. Soit M un complexe de D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}∞)), on pose

F_{π}(M) = p_{2+} (p_{1}^{!}(M) ˜⊗_{O_{Z,Q}^{†}}K_{π}) .

Comme les projections p_{1} et p_{2} sont lisses, il résulte des résultats généraux, que le complexe p_{1}^{!}(M) ˜⊗_{O_{Z,Q}^{†}}K_{π} est dans la catégorie D_{coh}^{b}(D_{Z/S,Q}^{†}(∞)). On démontrera ultérieurement que F_{π}(M) est en fait un élément de D_{coh}^{b}(D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)).

On remarque tout de suite que la transformation de Fourier est locale sur la base. Soit U un ouvert de X, F_{π,U} et F_{π,X} les transformés de Fourier relativement aux ouverts X et U.

Proposition 3.2.2. Soit M un élément de D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(^{†}∞)), alors il existe un isomorphisme canonique : F_{π,X}(M)_{|U} ≃ F_{π,U}(M_{|U}).

Démonstration. Le schéma formel Y ×_{X} Y^{∨} ×_{X} U est canoniquement isomorphe au schéma formel Y_{U} ×_{X} Y_{U}^{∨} et la fibre de Z au-dessus de Y_{U}^{∨} à Z_{U}. La formation du faisceau

H = D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Z/S,Q}^{†}(∞)}^{L} p_{1}^{!}M ˜⊗K_{π},

commute clairement aux changements de base sur la base X. Comme le faisceau D_{Y/S,Q}^{†}(∞) est de dimension cohomologique finie, ce complexe H est un élément de la catégorie dérivée des complexes à cohomologie bornée de faisceaux de groupes abéliens sur Z notée D^{b}(Z). Pour montrer l’assertion, il suffit donc de montrer que pour tout élément F de D^{b}(Z), on a un isomorphisme canonique

Rp_{2∗}(F)_{|Y_{U}} →^{∼} Rp_{2,U∗}(F_{|Z_{U}}),

où p_{2,U∗} est la projection Z_{U} → Y_{U}^{∨}. Par dévissage, on se ramène au cas d’un faisceau, pour lequel l’assertion est claire puisque, si V est un ouvert de Y_{U}^{∨}, alors p_{2}^{−1}(V) = p_{2,U}^{−1}(V).

Les propriétés que nous allons montrer sur la transformation de Fourier sont locales sur la base X. En particulier, on les démontrera en se restreignant au cas où le fibré vectoriel E est trivial. L’objet de la section qui suit est de calculer le transformé de Fourier du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}(∞). Nous en déduirons que la transformation de Fourier préserve la cohérence, ainsi que la comparaison avec la transformation de Fourier formelle.

Une remarque importante est que la transformation de Fourier préserve la structure de Frobenius. Pour voir cela, il suffit d’appliquer les théorèmes de commutation à l’action de Frobenius, qu’on trouve dans 3 de [Ber00], puisque le noyau de la transformation de Fourier est un F -D_{Z/S,Q}^{†}(∞) module.

4. Calcul du transformé de Fourier du faisceau D_{Y/S,Q}^{†}.

4.1. Notations des coordonnées.

Le calcul nécessite plusieurs étapes. Il existe un recouvrement fini de X par des ouverts W_{r}, tels que le fibré vectoriel E soit libre de rang N sur chaque W_{r}. Pour chaque r, on choisit des coordonnées x_{1}^{r}, …, x_{N}^{r} sur E. Les restrictions de Y et Y^{∨} à W_{r} s’identifient alors respectivement à l’espace projectif de dimension N muni de coordonnées u_{0}^{r}, …, u_{N}^{r} et à l’espace projectif dual muni des coordonnées duales v_{0}^{r}, …, v_{N}^{r}. Les espaces T_{W_{r}} et T_{W_{r}}^{∨} s’identifient de même à l’espace affine de dimension N sur X et à l’espace affine dual de dimension N, munis des coordonnées x_{l}^{r} = u_{l}^{r}/u_{0}^{r} et des coordonnées duales y_{l}^{r} = v_{l}^{r}/v_{0}^{r}.

Le schéma Z est réunion finie des schémas Z_{W_{r}} = Y_{W_{r}} ×_{W_{r}} Y_{W_{r}}^{∨}. C’est sur ces schémas que nous ferons le calcul.

La plupart du temps, il ne sera pas nécessaire de spécifier le r. Dans ce cas, nous ne noterons pas le r en exposant dans les notations des coordonnées.

Nous commençons par la proposition suivante.

4.2. Calcul de l’image inverse tensorisée par le noyau de la transformation de Fourier.

Pour calculer l’image inverse de D_{Y/S,Q}^{†}, il faut remarquer que l’on a une

résolution du faisceau D_{Z→Y/S,Q}^{†} par un complexe de Spencer. Précisément, on a le lemme suivant.

Lemme 4.2.1. L’homomorphisme ε : D_{Z/S,Q}^{†}(∞) → D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞), défini par P ↦ P.(1 ⊗ 1) fait du complexe de Spencer suivant une résolution du faisceau D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) comme D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-module à gauche :

0 → D_{Z/S,Q}^{†}(∞)⊗_{O_{Z,Q}^{†}}Λ^{N} T̃_{Z/Y} → … → D_{Z/S,Q}^{†}(∞)⊗_{O_{Z,Q}^{†}} T̃_{Z/Y} →^{d_{0}} D_{Z/S,Q}^{†}(∞) → 0.

Démonstration. Notons K_{•} le complexe de Spencer considéré, les termes K_{i} de ce complexe étant numérotés de N à 0. Ce complexe est déjà introduit dans 3.2 de [Ber90]. Nous rappelons la définition de la différentielle

\begin{aligned}d_{n}(P ⊗ ∂_{1} ∧ ∂_{2} ∧ … ∧ ∂_{n}) & = & ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i−1}P ∂_{i} ⊗ ∂_{1} ∧ ∂_{2} ∧ … ∧ ˆ∂_{i} … ∧ ∂_{n} \\ & + & ∑_{i<j}(−1)^{i+j}P ⊗ [∂_{i}, ∂_{j}] ∧ ∂_{1} ∧ … ∧ ˆ∂_{i} ∧ … ∧ ˆ∂_{j} ∧ … ∧ ∂_{n}. \end{aligned}

C’est un calcul facile de voir que ceci définit bien un complexe. Considérons un ouvert affine W de X muni de coordonnées locales relativement à S, notées w_{1}, …, w_{r} tel que E_{W} soit trivial. On reprend les notations de 4.1 en notant u_{0}, …, u_{N} les coordonnées sur Y et v_{0}, …, v_{N} les coordonnées sur Y^{∨}. Introduisons ∂_{1}, …, ∂_{N}, ∂′_{1}, …, ∂′_{N} les dérivations correspondantes aux variables x_{i} et y_{j} sur Y_{W} et Y_{W}^{∨}. On dispose ainsi d’une base de T̃_{Z/Y} comme O_{Z,Q}^{†}-module sur Z_{W}. Posons A = R[∂′_{1}, …, ∂′_{N}], qui est un anneau commutatif. Rappelons que U = T × T^{∨}. Remarquons que la suite d’éléments ∂′_{1}, …, ∂′_{N} est A-régulière pour les faisceaux de A-modules D_{Z/S,Q}^{†}(∞)_{|U_{W}}. Les différentielles du complexe K_{•} relativement aux ∂′_{l} se simplifient et cela montre que le complexe considéré, en restriction à Z_{W}, est le complexe de Koszul du faisceau D_{Z/S,Q}^{†}(∞) relativement à la suite

∂′_{1}, …, ∂′_{N}. Comme cette suite d’éléments de A est D_{Z/S,Q}^{†}(∞)_{|U_{W}} -régulière, le complexe K_{_{•}|U_{W}} est une résolution de

D_{Z/S,Q}^{†}(∞)_{|U_{W}} / ∑_{i=1}^{N} D_{Z/S,Q}^{†}(∞)_{|U_{W}} ∂′_{i},

c’est-à-dire une résolution de D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞)_{|U_{W}}. Considérons maintenant le com-

plexe K_{_{•}|Z_{W}} → D_{Z_{W} /S,Q}^{†}(∞)/ ∑_{i=1}^{N} D_{Z_{W} /S,Q}^{†}(∞)∂′_{i}. Le raisonnement précédent

montre que ce complexe tensorisé par D_{Z/S,Q}^{†}(∞)_{|U_{W}} est exact. Cela montre le lemme, en appliquant le résultat de fidèle platitude (4.3.10 de [Ber96b]) mentionné en 1.2.

4.2.2. Tensorisation par le module de Dwork. Tensorisons maintenant par le noyau de la transformation de Fourier. Comme le module δ^{∗}L_{π} est égal à O_{Z,Q}^{†}, le complexe K_{1,_{•}} = K_{•} ⊗ δ^{∗}L_{π} est une résolution D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-linéaire à gauche de

D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{Z,Q}^{†}}^{L} δ^{∗}L_{π},

et la différentielle est donnée par d_{1,n} = d_{n} ⊗ id. Pour préciser la fait que la structure de D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-module de δ^{∗}L_{π} n’est pas la struture canonique sur O_{Z,Q}^{†}, nous noterons “e” l’élément “1” de δ^{∗}L_{π}. D’autre part, il existe des isomorphismes canoniques σ_{n} de D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-modules à gauche

\xymatrix{K′_{n} = D_{Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{Z,Q}^{†}} Λ^{n}T̃_{Z/Y} \ar[r] & K_{1,n} = (D_{Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{Z,Q}^{†}} Λ^{n}T̃_{Z/Y}) ⊗_{O_{Z,Q}^{†}} δ^{∗}L_{π} \\ P ⊗ ∂_{1} ∧ ∂_{2} ∧ … ∧ ∂_{n} \ar@{|->}[r] & P.(1 ⊗ ∂_{1} ∧ ∂_{2} ∧ … ∧ ∂_{n} ⊗ e),}

où K′_{n} est muni de la structure de D-module induite, et K_{1,n} de la structure tordue par le produit tensoriel. Cet isomorphisme est classique en théorie des D-modules et sera noté σ_{n}.

Ceci montre finalement que le complexe K_{1,_{•}} est quasi-isomorphe au complexe K′_{•}, dont le terme général est K′_{n} pour 0 ≤ n ≤ N. Calculons la différentielle induite via cette identification à partir du diagramme

\xymatrix{K′_{n} \ar[r]^{σ_{n}} \ar[d]_{d′_{n}} & K_{1,n} \ar[d]_{d_{1,n}} \\ K′_{n−1} \ar[r]^{σ_{n−1}} & K_{1,n−1}.}

On en déduit la formule suivante

d′_{n} = σ_{n−1}^{−1} ∘ d_{1,n} ∘ σ_{n}.

Comme d′_{n} est D_{Z/S,Q}^{†}-linéaire, il suffit de calculer d′_{n}(1 ⊗ ∂_{1} ∧ ∂_{2} ∧ … ∧ ∂_{n}). Pour une section locale ∂ de T̃_{Z/Y}), on note ∂(1) la valeur de ∂(1) ∈ δ^{∗}L_{π} qu’on regarde comme un élément de O_{Z,Q}^{†}.

Un premier calcul donne

σ_{n−1} ((∂_{i} − ∂_{i}(1)) ⊗ ∂_{1} ∧ … ∧ ˆ∂_{i} ∧ … ∧ ∂_{n}) = ∂_{i} ⊗ ∂_{1} ∧ … ∧ ˆ∂_{i} ∧ … ∧ ∂_{n} ⊗ e.

On en déduit que

\begin{aligned}d′_{n}(1 ⊗ ∂_{1} ∧ … ∂_{n}) & = & ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i−1}(∂_{i} − ∂_{i}(1)) ⊗ ∂_{1} ∧ … ∧ ˆ∂_{i} ∧ … ∧ ∂_{n}) \\ & + & ∑_{i=1}^{n} ∑_{i<j}(−1)^{i+j}[∂_{i}, ∂_{j}] ∧ ∂_{1} ∧ … ˆ∂_{i} ∧ ˆ∂_{j} ∧ … ∧ ∂_{n}. \end{aligned}

Le morphisme d’augmentation ε′ : D_{Z/S,Q}^{†}(∞) → D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗ δ^{∗}L_{π} est donné par ε′ = (ε ⊗ id) ∘ σ_{0}. Dans la suite, on identifiera le but de cette flèche à D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞), ce qui donne la formule suivante pour ε′ appliqué à une dérivation ∂_{i}

ε′(∂_{i}) = ∂_{i} + ∂_{i}(1) ∈ D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞).

4.2.3. Calcul du résultat sur un ouvert de trivialité du fibré vectoriel. On reprend les notations de 4.1 sur un ouvert de trivialité du fibré vectoriel. Dans ce cas, on distingue les coordonnées x_{i} venant de Y et les coordonnées duales y_{i}. Les calculs ci-dessous donnent le résultat suivant. Pour le calcul de ε′, on a identifié D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗ δ^{∗}L_{π} à D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞).

Lemme 4.2.4. Le complexe K′_{•} décrit ci-dessus est une résolution D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-

linéaire de D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗ δ^{∗}L_{π}. Sur un ouvert W sur lequel on a choisi des coordonnées notées comme en 4.1, la différentielle est donnée par la formule

d′_{n}(P ⊗ ∂_{y_{i}} ∧ … ∧ ∂_{y_{in}}) = ∑_{l=1}^{n}(−1)^{l−1}P · (∂_{y_{i_{l}}} + πx_{i_{l}}) ⊗ ∂_{y_{i_{1}}} ∧ … ∧ ˆ∂_{y_{i_{l}}} ∧ … ∂_{y_{in}} .

D’autre part, l’homomorphisme d’augmentation ε′ : K′_{0} → D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) est défini par

ε′(∂_{y_{i}}) = −πx_{i}
ε′(∂_{x_{i}}) = ∂_{x_{i}} − πy_{i},

pour tout 1 ≤ i ≤ N.

4.3. Calcul de l’image directe par la deuxième projection.

Pour faire les calculs plus facilement, nous allons modifier la construction de D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞).

4.3.1. Une autre description du faisceau D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) La première re-

marque est que l’on peut faire les constructions de D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) avec le faisceau

B_{Z}^{′(m)} = p_{1}^{∗}B_{Y}^{(m)} ⊗_{O_{Z}} p_{2}^{∗}B_{Y^{∨}}^{(m)}.

En effet, ce faisceau est muni d’une action naturelle de D_{Z}^{(m)}-module à gauche. Soient α_{1}^{(m)} (resp. α_{2}^{(m)}) l’application canonique p_{1}^{∗}B_{Y}^{(m)} → B_{Z}^{(m)} (resp. p_{2}^{∗}B_{Y}^{(m)} → B_{Z}^{(m)}), et α^{(m)} = α_{1}^{(m)} ⊗ α_{2}^{(m)}. Plaçons-nous sur un ouvert W tel que E_{|W} soit libre et reprenons les notations de 4.1.

Sur V_{i,j} = D_{+}(u_{i})×D_{+}(v_{j}) ⋂ Z_{W}, on a la description suivante de ces faisceaux

B_{Z}^{(m+1)}(V_{i,j}) = O_{Z}(V_{i,j})[T_{1}, T_{2}] /((\frac{u_{0}}{u_{i}} )^{p^{m+2}} T_{1} − p, (\frac{v_{0}}{v_{j}} )^{p^{m+2}} T_{2} − p)) ,

B_{Z}^{(m)}(V_{i,j}) = O_{Z}(V_{i,j})[T] /(\frac{u_{0}}{u_{i}} \frac{v_{0}}{v_{j}} )^{p^{m+1}} T − p .

Considérons maintenant l’application suivante

\begin{matrix}O_{Z}(V_{i,j})[T] & → & B_{Z,Q}^{′(m+1)}(V_{i,j}) \\ T & ↦ & p (\frac{u_{0}}{u_{i}} )^{p^{m+1}} (\frac{v_{0}}{v_{j}} )^{p^{m+1}} . \end{matrix}

On observe que cette application se recolle sur tous les ouverts V_{i,j} et envoie pO_{Z}[T] dans B_{Z}^{′(m+1)}. On en déduit une application O_{Z}-linéaire β^{(m)} : B_{Z}^{(m)} → B_{Z}^{′(m+1)} qui est telle que α^{(m+1)} ∘ β^{(m)} = pi_{m,m+1} et β^{(m)} ∘ α^{(m)} = pi′_{m,m+1}, où i_{m,m+1} (resp. i′_{m,m+1}) est l’inclusion canonique de B_{Z}^{(m)} → B_{Z}^{(m+1)} (resp. de B_{Z}^{′(m)} dans B_{Z}^{′(m+1)}). Posons maintenant

D′_{Y^{∨}←Z/S}^{(m)}(∞) = B′_{Z}^{(m)} ⊗_{p_{2}^{−1}B_{Y ^{∨}}^{(m)}} p_{2}^{−1}A_{Y^{∨}/S}^{(m)},

où A_{Y^{∨}/S}^{(m)} est le faisceau introduit en 2.3.2 (à cette différence que le faisceau

B_{Y^{∨}}^{(m)} ici n’est pas complété) et D̂′_{Y^{∨}←Z/S}^{(m)}(∞) son complété p-adique. Il résulte des considérations précédentes et d’estimations analogues à celles utilisées en 2.3.4 que l’on a un isomorphisme canonique

D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) ≃ lim_{⟶}_{m}D̂_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{′(m)}(∞).

Nous utiliserons cette description pour faire le calcul de Rp_{2∗}D_{Y^{∨}→Z/S,Q}^{†}(∞). Comme l’espace topologique sous-jacent à Z est noethérien, la cohomologie commute à la limite inductive et on est ramené à calculer la cohomologie des faisceaux D̂_{Y^{∨}→Z/S,Q}^{′(m)}(∞). Considérons pour cela le diagramme d’espaces annelés

\xymatrix{(Z, B_{Z}^{′(m)}) \ar[r]^{p′_{1}} \ar[d]^{p′_{2}} & (Y, B_{Y}^{(m)}) \ar[d]^{f} \\ (Y^{∨}, B_{Y^{∨}}^{(m)}) \ar[r]^{u} & (X, O_{X}).}

Le morphisme f est séparé de type fini. Le faisceau B_{Y^{∨}}^{(m)} est sans torsion de sorte que u est plat. La formule de changement de base pour la cohomologie donne donc un isomorphisme canonique

Rp′_{2∗}B_{Z}^{′(m)} = Rp′_{2∗}(p′_{1}^{∗}B_{Y}^{(m)}) ≃ u^{∗}Rf_{∗}B_{Y}^{(m)}.

La cohomologie de ces faisceaux s’obtient facilement à partir de l’appendice à [Huy97]. Le complexe calculant Rf_{∗}B_{Y}^{(m)} est réduit au dégré 0, et R^{0}f_{∗}B_{Y}^{(m)} = ⨁_{|\underline{l}|} O_{X}p^{ν_{m}(\underline{l})}\underline{x}\underline{l}. La formule de la projection appliquée à p′_{2} donne alors

Rp_{2∗} (p′_{2}^{∗}B_{Y^{∨}}^{(m)} ⊗_{p′_{2}^{−1}B_{Y ^{∨}}^{(m)}}^{L} p′_{2}^{−1}A_{Y^{∨}}^{(m)}(∞)) = Rp_{2∗}B_{Z}^{′(m)} ⊗_{B_{Y ^{∨}}^{(m)}} A_{Y^{∨}/S}^{(m)}.

Le complexe Rp′_{2∗}D′_{Z→Y^{∨}/S}^{(m)}(∞) est donc réduit au degré 0 où il est isomorphe, au-dessus de W, à

R^{0}p′_{2∗}D′_{Z→Y^{∨}}^{(m)}(∞) = ⨁_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} B_{Y^{∨}}^{(m)}p^{ν_{m}(\underline{l})}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{⟨\underline{k}′⟩_{(m)}} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}.

On en déduit formellement que le faisceau Rp′_{2∗}D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) est représenté par un complexe réduit en degré 0. On calcule le terme de degré 0 en complétant et en passant à la limite sur m dans la description précédente. Ce qui donne le résultat suivant, sur un ouvert W′ ⊂ Y_{W}^{∨}.

R^{0}p′_{2∗}D̂_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{′(m)}(∞)(W′) = \{ ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} p^{ν_{m}(\underline{l})}b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{⟨\underline{k}′⟩_{(m)}} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}} | b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ B̂_{W′,Q}^{(m)}(W′) et

v_{p}(b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}) → +∞ si |\underline{k}| + |\underline{k}′| + |\underline{l}| → +∞\} ,

Rp_{2∗}^{0}D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)(W′) = \{ ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{[\underline{k}′]}\underline{∂}_{y}^{[\underline{k}]} |b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ O_{Y^{∨},Q}^{†}(W′) et

∃C > 0, η < 1 tels que |b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}|_{p} ≤ Cη^{|\underline{l}|+|\underline{k}′|+|\underline{k}|}\} .

4.3.2. Fin du calcul Le complexe K′_{•} est un complexe de D_{Z,Q}^{†}(∞)-modules à gauche plats. Le complexe suivant

K′′_{•} = D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Z/S,Q}^{†}(∞)} K′_{•}

est quasi-isomorphe au complexe

D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Z/S,Q}^{†}(∞)}^{L} K′_{•}.

Comme les faisceaux Λ^{n}T̃_{Z/Y} sont libres au-dessus de Z_{W} d’après 2.1.1, le terme général de ce complexe est à termes acycliques pour p_{2∗}. D’autre part, le complexe F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))[2 − N] est quasi-isomorphe au complexe L_{•}.

Finalement, l’image directe par Rp_{2∗} du complexe K′′_{•} est calculée par le complexe L_{•} défini par

L_{n} = p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{Z,Q}^{†}} Λ^{n}T̃_{Z/Y}).

On remarquera que le terme de degré 0 de ce complexe est p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞). On en déduit la proposition suivante

Proposition 4.3.3. Il existe un homomorphisme q_{2}^{−1}O_{X}-linéaire canonique

q_{2}^{−1}Λ^{N}E[N − 2] → F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)).

Démonstration. D’après ce qui précède, le module F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))[2−N] est le quotient de l’application d′′_{1} :

p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) ⊗ Λ^{1}T̃_{Z/Y}) → p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)).

Il suffit donc de montrer qu’il existe un homomorphisme q_{2}^{−1}O_{X}-linéaire canonique

q_{2}^{−1}Λ^{N}E → D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞).

Par définition, le faisceau D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) s’identifie à

D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{Z,Q}^{†}} ˜ ω_{Z/Y^{∨}},

c’est-à-dire, d’après 2.1.1 à

D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}O_{X}} Λ^{N}p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}E.

On dispose d’une flèche canonique (et d’une autre flèche canonique après avoir composé par p_{2∗})

[figure: p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}Λ^{N}E; D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}O_{X}} p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}Λ^{N}E; e; 1 ⊗ 1 ⊗ e.]

Le morphisme d’adjonction pour p_{2} appliqué au faisceau p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}E donne une flèche canonique q_{2}^{−1}Λ^{N}E → p_{2∗}p_{2}^{−1}q_{2}^{−1}E qui donne finalement la flèche cherchée.

Dans l’énoncé qui suit, on considère le faisceau D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) comme un complexe placé en degré 0.

Théorème 4.3.4. La flèche

D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{O_{Y ^{∨}}} q_{2}^{∗}Λ^{N}E[N − 2] → F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))

définit un quasi-isomorphisme de complexes de D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-modules à gauche cohérents.

Démonstration. Le fait que F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) est un D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-module à gauche cohérent va provenir du fait que la flèche ci-dessus est un quasiisomorphisme de complexes. D’autre part, le fait que l’on a un quasi-isomorphisme est une question locale sur Y^{∨}. Plaçons-nous sur un ouvert W de X, muni de coordonnées locales (w_{1}, …, w_{r}), et tel que E_{|W} soit libre, de base (x_{1}, …, x_{N}) ((y_{1}, …, y_{N}) sera la base duale). On va démontrer le théorème sur tout ouvert affine W′ ⊂ Y_{W}^{∨}. Le transformé de Fourier F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) est quasi-isomorphe au complexe L_{•}, qu’on continuera à noter L_{•} au-dessus de W′.

Comme faisceau de groupes abéliens, D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) est isomorphe au faisceau

D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞). La structure de D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-module à droite (resp. p_{2}^{−1}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)- module à gauche) est obtenue en tordant par l’opérateur transposé la structure de D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-module à gauche (resp. p_{2}^{−1}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module à droite) de

D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) (cf 1.2.6 de [Ber00]). Ces actions obtenues par transposition seront notées avec le symbole ∗. En particulier, l’opérateur ∗(∂_{y_{k}} + πx_{k}) agissant à droite sur D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) est l’opérateur transposé (−∂_{y_{k}} + πx_{k}) agissant à gauche sur

D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞).

Notons

A = Γ(W′, p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞))

= \{ ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{[\underline{k}′]}\underline{∂}_{y}^{[\underline{k}]} | b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ O_{W′,Q}^{†}(W′) et ∃C > 0, η < 1 tels que |b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}| < Cη^{|\underline{l}|+|\underline{k}′|+|\underline{k}|}\} ,

où dans cette formule \underline{l} ∈ N^{N}, \underline{k}′ ∈ N^{r}, \underline{k} ∈ N^{N}. Le terme général du complexe L_{n}(W′) est donc

L_{n}(W′) = ⨁_{(i_{1},...,i_{n})} A∂_{y_{i_{1}}} ∧ … ∧ ∂_{y_{in}} ,

et la différentielle est donnée par d_{n} : L_{n}(W′) → L_{n−1}(W′) définie par

d_{n}(P ⊗ ∂_{y_{i}} ∧ … ∧ ∂_{y_{in}}) = ∑_{l=1}^{n}(−1)^{l−1}P ∗ (∂_{y_{i_{l}}} + πx_{i_{l}}) ⊗ ∂_{y_{i_{1}}} ∧ … ∧ ˆ∂_{y_{i_{l}}} ∧ … ∂_{y_{in}} .

Un premier résultat fondamental est que le complexe L_{•} est acyclique, sauf en degré 0. L’argument repose sur un lemme de décomposition qui est le suivant. On définit

A_{i} = \{P ∈ A | b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} = 0 si l_{i} ≠ 0\}.

Cette algèbre est une sous-algèbre de A (et un sous Γ(W′, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†})-module).

Lemme 4.3.4.1. Il existe des applications Γ(W′, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞))-linéaires à gauche φ_{i} : A → A et ψ_{i} : A → A_{i} tels que, pour tout P ∈ A, P = φ_{i}(P) ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) + ψ_{i}(P) (cette égalité ayant un sens dans A). D’autre part, on a la relation, si i ≠ k, φ_{i}(P ∗ (∂_{y_{k}} + πx_{k})) = φ_{i}(P) ∗ (∂_{y_{k}} + πx_{k}) et φ_{i}(P ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i})) = P.

Remarque. Ces applications sont compatibles aux inclusions W′′ ⊂ W′ et définissent des morphismes de faisceaux p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞) → p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞).

Sur V_{0,0}, l’action des éléments ∂_{y_{i}} et (∂_{y_{i}} +πx_{i}) commute. Du fait de l’injection

p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)(W′) ⊂ p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)(W′ ⋂ V_{0,0}),

c’est aussi vrai dans p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)(W′). De même, les opérateurs ∂_{y_{k}} commutent avec les opérateurs x_{i} et ∂_{y_{i}} pour i ≠ k. Introduisons A^{(m)} = p_{2∗}D^{(m)}′_{Y^{∨}←Z/S}(∞)(V_{j}), comme introduit en 4.3.1 et Â^{(m)} les algèbres complétées.

Les algèbres Â_{Q}^{(m)} constituent une filtration de A. Pour démontrer le lemme, on construit les applications φ_{i} et ψ_{i} pour les algèbres complètes Â^{(m)}. A un niveau fini, nous avons l’énoncé suivant.

Lemme 4.3.4.2. Il existe des applications A_{Y^{∨}/S}^{(m)}(W′)-linéaires à gauche φ :

A^{(m)} → A^{(m+2)} et ψ : A_{i}^{(m)} → A_{i}^{(m+2)} et un entier naturel c tel que, pour tout P ∈ A^{(m)}, p^{c}P = φ(P) ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) + ψ(P).

Démonstration. Comme les éléments (−∂_{y_{i}} + πx_{i}) et ∂_{y_{i}} commutent, on a la relation

x_{i}^{l_{i}} = \frac{1}{π^{l_{i}}} ((−∂_{y_{i}} + πx_{i}) + ∂_{y_{i}})^{l_{i}}
= \frac{1}{π^{l_{i}}} ∂_{y_{i}}^{l_{i}} + (−∂_{y_{i}} + πx_{i}) ∑_{t=1}^{l_{i}} ∑_{s=0}^{t−1}(−1)^{t−1+s} \frac{1}{π^{l_{i}−s}} \binom{l_{i}}{t}\binom{t − 1}{s}x_{i}^{s}∂_{y_{i}}^{l_{i}−1−s},

soit encore :

x_{i}^{l_{i}} = \frac{l_{i}!}{q_{l_{i}}^{(m+2)}!π^{l_{i}}} ∂_{y_{i}}^{⟨\underline{k}⟩_{(m+2)}}

+(−∂_{y_{i}} + πx_{i}) ∑_{t=1}^{l_{i}} ∑_{s=0}^{t−1}(−1)^{t−1+s} \frac{1}{π^{l_{i}−s}} \binom{l_{i}}{t}\binom{t − 1}{s}\frac{(l_{i} − 1 − s)!}{q_{l_{i}−1−s}^{(m+2)}!}x_{i}^{s}∂_{y_{i}}^{⟨l_{i}−1−s⟩_{(m+2)}}.

On écrira cette décomposition

x_{i}^{l_{i}} = R′_{l_{i}} + (−∂_{y_{i}} + πx_{i})Q′_{l_{i}}.

En utilisant les inégalités 1.2, on voit que, pour tout t ≤ l_{i}, et pour tout s ≤ t − 1 :

C(l_{i}, m, s) = v_{p} (p^{ν_{m}(l_{i})} \frac{(l_{i} − 1 − s)!}{q_{l_{i}−1−s}^{(m+2)}!} \frac{1}{π^{l_{i}−s}} p^{−ν_{m+2}(s)})

est minoré par

\frac{l_{i}}{p^{m+1}} + (\frac{l_{i} − 1 − s}{p − 1} − log(l_{i} − s) − 1) − \frac{l_{i} − 1 − s}{p^{m+2}(p − 1)} − \frac{l_{i} − s}{p − 1} − \frac{s}{p^{m+3}} − 1.

En majorant log_{p}(l_{i} − s) par log_{p}(l_{i}), on obtient :

C(l_{i}, m, s) ≥ (1 − \frac{1}{p(p − 1)} \frac{l_{i}}{p^{m+1}} − log(l_{i}) − 3.)

Soit c_{1} un minorant de cette quantité pour tout l_{i} ∈ N^{∗}. On dispose de même de l’inégalité :

v_{p} (p^{ν_{m}(l_{i})} \frac{l_{i}!}{q_{l_{i}}^{(m+2)!}π^{l_{i}}} ) ≥ (1 − \frac{1}{p(p − 1)}) \frac{l_{i}}{p^{m+1}} − log(l_{i}) − 1 ≥ c_{1}

Soit c = min{c_{1}, 0}. Pour tout l_{i} ≥ 1, considérons maintenant les opérateurs suivants de p^{−c}A^{(m+2)} (resp. p^{−c}A_{i}^{(m+2)}), Q_{l_{i}} = p^{ν_{m}(l_{i})}Q′_{l_{i}} et R_{l_{i}} = p^{ν_{m}(l_{i})}R′_{l_{i}}. On pose aussi Q_{0} = 0 et R_{0} = 1. Par construction, on a l’égalité dans A^{(m+2)}

p^{c}p^{ν_{m}(l_{i})}x_{i}^{l_{i}} = p^{c}Q_{l_{i}} ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) + p^{c}R_{l_{i}}.
Soit maintenant P  ∈  A^{(m)} tel que P s’écrive P  =

∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} p^{ν_{m}(|\underline{l}|)}\underline{x}\underline{l}∂_{w}^{⟨\underline{k}′⟩_{(m)}} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}, soit encore P = ∑_{\underline{l},\underline{k}} p^{ν_{m}(|\underline{l}|)}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}R_{\underline{l},\underline{k}} on pose

φ(P) = p^{c} ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} p^{ν_{m}(|\underline{l}|)−ν_{m}(l_{i})}Q_{l_{i}} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}R_{\underline{l},\underline{k}},

ψ(P) = p^{c} ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} p^{ν_{m}(|\underline{l}|)−ν_{m}(l_{i})}R_{l_{i}} \underline{∂}_{y}^{⟨\underline{k}⟩_{(m)}}R_{\underline{l},\underline{k}}.

Les applications φ et ψ ont alors les propriétés voulues.

Achevons la démonstration de l’existence de la décomposition. Soit P ∈ A, alors il existe un entier m tel que P ∈ Â_{Q}^{(m)}. Complétons les applications que nous venons

de construire en des applications de Â^{(m)} → Â^{(m+2)} (resp. de Â_{i}^{(m)} → Â_{i}^{(m+2)}) en des applications φ̂ (resp. ψ̂) et tensorisons pas Q. Cela donne l’égalité dans A :

P = p^{−c}φ̂(P) ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) + p^{−c}ψ̂(P),

et le résultat annoncé en prenant φ_{i} = p^{−c}φ̂ et ψ_{i} = p^{−c}ψ̂.

Au passage, on voit si P ne dépend pas de x_{t}, c’est aussi le cas du quotient Q et du reste R. La deuxième assertion de l’énoncé est facile à vérifier étant donné la définition explicite de φ_{i}.

La décomposition obtenue est unique sur les ouverts W′ = Y_{W}^{∨} et on a le résultat suivant pour ces ouverts particuliers.

Lemme 4.3.4.3. Pour tout i ∈ {1, …, N} et tout P ∈ A, il existe un unique couple (Q, R) ∈ A × A, tel que R = ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} r_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{[\underline{k}′]}\underline{∂}_{y}^{[\underline{k}]} où r_{\underline{l},\underline{k}} = 0 si l_{i} ≠ 0 et vérifiant

P = Q ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) + R.

Démonstration. Il suffit de montrer l’unicité. Soit A_{i} le sous-anneau de A constitué des éléments R dont les coefficients r_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} sont nuls si l_{i} ≠ 0. Il s’agit de montrer que si Q ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) ∈ A_{i}, alors Q = 0. Notons que A se plonge dans

A′ = p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)(⋂_{i=0}^{n} V_{i}).

On définit A′_{i} comme le sous-anneau de A′ constitué des éléments R dont les coefficients r_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} sont nuls si l_{i} ≠ 0. En remarquant que les opérateurs ∂_{w_{l}} commutent avec les opérateurs ∗(∂_{y_{i}} +πx_{i}) et en identifiant les coefficients des opérateurs \underline{∂}_{w}^{[\underline{k}′]} dans les expressions de Q et du résultat Q ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}), on voit qu’on est ramené à montrer l’unicité pour un opérateur Q dont les coefficients q_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} sont nuls pour \underline{k}′ ≠ 0. Plaçons-nous dans ce cas et notons Q = ∑_{\underline{l},\underline{k}} q_{\underline{l},\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{y}^{[\underline{k}]} tel qu’il existe C > 0 et η < 1 tels que |q_{\underline{l},\underline{k}}| < Cη^{|\underline{k}|+|\underline{l}|}, les éléments q_{\underline{l},\underline{k}} étant dans

Γ(W, O_{W,Q}) {y_{1}, …, y_{N}, 1/y_{1}, …, 1/y_{N}} .

On calcule alors

Q ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) = ∑_{\underline{l},\underline{k}} \underline{x}\underline{l} (−k_{i}q_{\underline{l},\underline{k}−1_{i}} − \frac{∂q_{\underline{l},\underline{k}}}{∂y_{i}} + πq_{\underline{l}−1_{i},\underline{k}}) \underline{∂}_{y}^{[\underline{k}]}.

Finalement, Q ∗ (∂_{y_{i}} + πx_{i}) est dans A′_{i} si et seulement si ∀\underline{k} ∈ N^{N}, ∀\underline{l} ∈ N^{N}, tel que l_{i} ≠ 0,

− k_{i}q_{\underline{l},\underline{k}−1_{i}} + \frac{∂q_{\underline{l},\underline{k}}}{∂y_{i}} + πq_{\underline{l}−1_{i},\underline{k}} = 0.  (1)

Supposons que Q soit non nul. Il existe (\underline{l}, \underline{k}) tel que q_{\underline{l},\underline{k}} soit non nul. Posons \underline{l}′ = \underline{l}−l_{i}1_{i} et \underline{k}′ = \underline{k}−k_{i}1_{i} et choisissons (a, b) minimal pour l’ordre lexicographique tel que q_{\underline{l}′+b1_{i},\underline{k}′+a_{i}} ≠ 0. Notons alors u_{c} = q_{\underline{l}′+c1_{i},\underline{k}′+a1_{i}}. Cet élément se développe en série par rapport à y_{i} :

u_{c} = ∑_{t∈Z} v_{t}^{c}y_{i}^{t} où v_{t}^{c} ∈ Γ(W, O_{W,Q}) {y_{1}, …, ŷ_{i}, …, y_{n}} et |v_{t}^{c}|_{p} → 0 si |t| → +∞.

Comme q_{\underline{l},\underline{k}′+(a−1)1_{i}} est nul pour tout \underline{l}, la relation (1) s’écrit encore :

∀c ≥ 0, \frac{∂u_{c+1}}{∂y_{i}} − πu_{c} = 0  (2)

qui s’écrit encore

∀c ≥ 0, ∑_{t∈Z}((t + 1)v_{t+1}^{c+1} − πv_{t}^{c})y^{t} = 0,

d’où la relation de récurrence sur les suites (v_{t}^{c})

∀c ≥ 0, ∀t ∈ Z, v_{t}^{c} = \frac{t + 1}{π}v_{t+1}^{c+1}.

On voit donc que si t < 0, v_{t}^{b} est nul. Soit t_{0} = min{t|v_{t}^{b} ≠ 0}, on a alors la relation

v_{t}^{b} = \frac{π^{c−b}}{(t_{0} + 1) · (c − b + t_{0})}v_{t_{0}}^{b}.

La norme |.|_{p} de u_{c} est donnée par |u_{c}|_{p} = sup_{t}|v_{t}^{c}|_{p}, de sorte que

∀c, |q_{\underline{l}′+cl_{i},\underline{k}′+a1_{i}}|_{p} ≥ |\frac{π^{c−b}}{(t_{0} + 1) · (c − b + t_{0})}| |v_{t_{0}}^{b}|_{sp}.

Notons que

v_{p} (\frac{π^{c−b}}{(t_{0} + 1) · (c − b + t_{0})}) = −\frac{t_{0}}{p − 1} + v_{p}(t_{0}!) + \frac{σ(c − b + t_{0})}{p − 1},

où σ(n) est la somme des chiffres de n en base p. Introduisons

C_{1} = p^{(\frac{−t_{0}}{p−1} +v_{p}(t_{0}!))}|v_{t_{0}}^{b}|_{p},

alors nous avons l’inégalité

|q_{\underline{l}′+c1_{i},\underline{k}′+a1_{i}}|_{p} ≥ C_{1}p^{− \frac{σ(c−b+t_{0})}{p−1}} .

D’autre part, il existe η < 1 et c > 0 tels que :

|q_{\underline{l}′+c1_{i},\underline{k}′+a1_{i}}|_{p} ≥ η^{|\underline{l}′|+a+|\underline{k}′|}η^{c},

ce qui achève la démonstration car σ(c − b + t_{0}) ne tend pas vers +∞ si c tend vers +∞. Cela montre finalement l’unicité sur Y_{W}^{∨}.

L’énoncé suivant porte de nouveau sur un ouvert affine quelconque W′ de Y_{W}^{∨}. On note T_{i} = ∂_{y_{i}} + πx_{i} et (P/T_{i}) = φ_{i}(P).

Si \underline{i} = (i_{1}, …, i_{n}) est un multi-indice (éventuellement vide), on pose \{\underline{i}\} = {i_{1}, …, i_{n}}.

Lemme 4.3.4.4. Fixons \underline{i} = (i_{1}, …, i_{n}). Alors tout opérateur P de A se décompose

P = ∑_{\underline{j} | \{\underline{j}\}⊂\{\underline{i}\}} P\underline{j} ∗ ∏_{j∈\{\underline{j}\}} T_{j},

où ∀s ∈ \{\underline{i}\}\\{\underline{j}\}, (P\underline{j}/T_{s}) = 0.

Dans l’énoncé, l’indice \underline{j} peut être vide.

Démonstration. Comme les opérateurs T_{i} commutent entre eux, il suffit d’appliquer successivement le lemme de décomposition. Au passage, on observera que l’application P ↦ P\underline{j} est Γ(W′, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞))-linéaire à droite si \underline{i} est fixé. On

la notera β\underline{i} ; \underline{j} : l’élément β\underline{i} ; \underline{j}(P) est donc un élément de A qui ne dépend que de x_{j_{1}}, …, x_{j_{l}}. Ce lemme va permettre de montrer la proposition suivante

Proposition 4.3.5. Le complexe L_{•} est acyclique en degrés strictement négatifs.

Démonstration. La question est locale et on montre la proposition au-dessus d’un ouvert W′ de Y_{W}^{∨}, où W est un ouvert de X muni de coordonnées locales et sur lequel le fibré vectoriel E est trivial. On peut reprendre la calcul précédent de A = Γ(W′, p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)) et le lemme de division qui précède. Notons, pour tout multi-indice \underline{i} de longueur n

e\underline{i} = ∂_{y_{i_{1}}} ∧ … ∧ ∂_{y_{in}} .

Définissons les opérateurs K-linéaires k_{n+1} : L_{n}(W′) → L_{n+1}(W′) par :

k_{n+1}(P e\underline{i}) = ∑_{j=1}^{N}(P/T_{j})∂_{y_{j}} ∧ e\underline{i}.

Cela donne le diagramme non commutatif suivant, dont les flèches verticales sont l’identité

\xymatrix{L_{n+1}(W′) \ar[r]^{d_{n+1}} \ar[d] & L_{n}(W′) \ar[r]^{d_{n}} \ar[d] \ar[dl]^{k_{n+1}} & L_{n−1}(W′) \ar[d] \ar[dl]^{k_{n}} \\ L_{n+1}(W′) \ar[r]^{d_{n+1}} & L_{n}(W′) \ar[r]^{d_{n}} & L_{n−1}(W′).}

Nous avons alors les relations :

d_{n+1}k_{n+1}(P e\underline{i}) = ∑_{j=1}^{N}(P/T_{j}) ∗ T_{j}e\underline{i} + ∑_{j=1}^{N} ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k}(P/T_{j}) ∗ T_{i_{k}}∂_{y_{j}} ∧ e_{i_{1},...,î_{k},...i_{n}},

k_{n}d_{n}(P e\underline{i}) = ∑_{j=1}^{N} ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k−1}(P ∗ T_{i_{k}}/T_{j})∂_{y_{j}} ∧ e_{i_{1},...,î_{k},...i_{n}}.

Si i ≠ k et pour tout j on a les égalités (P/T_{j})∗T_{k} = (P/T_{k})∗T_{j} et (P/T_{j})∗T_{j} = P. On en conclut que :

d_{n+1}k_{n+1} + k_{n}d_{n}(P e\underline{i}) = (nP + ∑_{j∉\{i_{1},...,i_{n}\}}(P/T_{j}) ∗ T_{j}) e\underline{i}.

Considérons maintenant λ_{n} = Nid − (d_{n+1} ∘ k_{n+1} + k_{n} ∘ d_{n}). D’après ce que l’on vient de voir, λ_{n} est K-linéaire et λ_{n}(P e\underline{i}) = (∑_{j∉\{i_{1},...,i_{n}\}} P − (P/T_{j}) ∗ T_{j}).

Nous allons voir que λ est diagonalisable. On prolonge l’application β\underline{i} ; \underline{j} obtenue à partir du lemme de décomposition en posant :

β\underline{i} ; \underline{j}(∑_{\underline{i}′} P\underline{i}′e\underline{i}′) = ∑_{\underline{i}′} β\underline{i} ; \underline{j}(P\underline{i}′)e\underline{i}′.

Soit enfin

E_{l} = \{P ∈ L_{n}(W′) tels que, ∀\underline{j}, avec |\underline{j}| ≠ N − (l + n)et ∀\underline{i} avec |\underline{i}| = n, β\underline{i} ; \underline{j}(P\underline{i}) = 0.\}

En d’autres termes, on demande que P\underline{i} s’écrive

∑_{|\underline{j}|=N−(l+n)} P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T_{j_{1}} ⋯ T_{j_{N−l−n}},

où P_{\underline{i},\underline{j}} ne dépend pas des x_{k} tels que k ∈ \{\underline{i}^{c}\\underline{j}\}. Observons alors que, avec ces notations

si k ∈ \{j_{1}, …, j_{N−l−n}\}, P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j} − (P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j}/T_{k}) ∗ T_{k} = 0,
si k ∉ \{j_{1}, …, j_{N−l−n}\}, P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j} − (P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j}/T_{k}) ∗ T_{k} = P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j}.

Finalement, si P ∈ E_{l}, λ_{n}(P_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j}e\underline{i}) = lP_{\underline{i},\underline{j}} ∗ T\underline{j}e\underline{i} et λ_{n}(P) = lP, de sorte que E_{l} est le sous-espace propre associé à la valeur propre l. D’autre part, il découle du lemme de décomposition que L_{n}(W′) est égal à la somme directe des E_{l}. Soient maintenant C_{n} = kerd_{n}, B_{n} = Imd_{n+1} et P ∈ C_{n}, dont les composantes sur E_{l} sont notées P_{l}. On dispose alors du lemme suivant

Lemme 4.3.5.1. Soit P ∈ C_{n}. Alors, ∀l ∈ {0, …, N − n}, P_{l} ∈ C_{n}.

Démonstration. Tout d’abord, si d_{n}(P) = 0, alors on a les égalités d_{n} ∘ λ_{n}(P) = Nd_{n}(P) − d_{n} ∘ d_{n+1} ∘ k_{n+1}(P) = 0 et donc λ_{n}(C_{n}) ⊂ C_{n}. Finalement, les itérés λ_{n}^{k}(P) appartiennent à C_{n}, pour tout entier k. On en déduit

\{ \begin{matrix}P & = & P_{0} + … + P_{N−n} ∈ C_{n} \\ λ_{n}(P) & = & P_{1} + … + (N − n)P_{N−n} ∈ C_{n} \\ . \\ . \\ λ_{n}^{N−n}(P) & = & P_{1} + … + (N − n)^{N−n}P_{N−n} ∈ C_{n} \end{matrix}

Introduisons la matrice B de taille (N − n + 1) × (N − n + 1) à coefficients dans K suivante

B = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & . & . & . & 1 \\ 0 & 1 & 2 & . & . & . & N − n \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & 1 & 2^{N−n} & . & . & . & (N − n)^{N−n}. \end{matrix} ]

La matrice^{t}B est inversible dans K d’inverse A = (a_{i,j}). Alors, ∀i ∈ {0, …, N−n}, on a l’égalité : P_{i} = ∑_{j=0}^{N−n} a_{i,j}λ^{j}(P) où a_{i,j} ∈ Q, ce qui montre le lemme.

Terminons la démonstration de la proposition. Soit P ∈ C_{n} avec n ≥ 1. Alors, k_{n}∘d_{n}(P_{l})+d_{n+1}∘k_{n+1}(P_{l}) est égal à NP_{l}−lP_{l} = (N −l)P_{l}. Or, comme l ≤ N −1, N − l ≠ 0 et ceci montre que P_{l} ∈ B_{n} pour tout l. C’est donc aussi le cas de P, ce qui achève la démonstration de la proposition.

Terminons maintenant la démonstration du théorème 4.3.4. La question de l’isomorphisme de la flèche définie en degré 0 est locale. On se place sur un ouvert affine W′ de Y^{∨} contenu dans un ouvert Y_{W}^{∨} de Y^{∨} où W est un ouvert de X muni de coordonnées locales sur lequel le fibré vectoriel E est libre de base x_{1}, …, x_{N}. La flèche du théorème envoie alors x_{1} ∧ … ∧ x_{N} sur 1⊗1⊗x_{1}∧…∧x_{N}. Comme précédemment, on identifie Γ(W′, p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)) à

A = Γ(W′, p_{2∗}D_{Z→Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)), avec les structures tordues de p_{2∗}D_{Z/S,Q}^{†}(∞)(W′)-

module à droite et de D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)(W′)-module à gauche. Notons β = β_{∅}^{1,...,N} l’ap-

plication surjective introduite en 4.3.4.4, qui est à valeurs dans D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(W′)(∞) et

est D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)(W′)-linéaire à gauche. On dispose alors du diagramme suivant de

D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(W′)(∞)-modules à gauche, dont la ligne horizontale est une suite exacte

\xymatrix{⨁_{i=1}^{N} A∂_{y_{i}} \ar[r]^{u} & A \ar[r] \ar[d]^{β} & F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))(W′) \ar[r] & 0 \\  & D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)(W′), \ar[u]^{i}}

où i est le morphisme structural P ↦ P · 1. Comme on a Im(u) = ∑_{i=1}^{N} A ∗ T_{i}, il découle encore de 4.3.4.4, que Im(u) est exactement le noyau de β, de sorte que β induit une bijection toujours notée β : F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))(W′) → D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)(W′).

Comme cette application est D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)(W′)-linéaire, cela montre le théorème.

5. Premières propriétés de la transformation de Fourier

Nous donnons d’abord un théorème de comparaison avec la transformation de Fourier formelle. De ce théorème de comparaison, nous déduirons la préservation de la cohérence par transformation de Fourier géométrique, ainsi que la préservation de la structure de Frobenius et de l’holonomie.

5.1. Définition de la transformation de Fourier formelle.

On rappelle brièvement comment cette transformation est définie. On reprend les notations de 2.1. Il y a deux cas.

5.1.1. Cas où le fibré E est trivial. Dans ce cas, E est égal à O_{X}^{N}, muni de la base canonique x_{1}, …, x_{N}. On a la proposition suivante en notant y_{1}, …, y_{N} la base duale de x_{1}, …, x_{N}, ∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{N}} les dérivations correspondantes sur Y, (resp. ∂_{y_{1}}, …, ∂_{y_{N}} sur Y^{∨}). On notera que d’après 2.1.1, ces éléments sont des sections globales de T̃_{Y/X,Q}. Dans l’énoncé qui suit, on regarde D_{X/S,Q}^{†} comme un

sous-faisceau de D_{Y/S,Q}^{†}(∞) (resp. de D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)) via l’immersion fermée X ↪ Y (resp. de X ↪ Y^{∨}).

Proposition 5.1.1.1. Les faisceaux de O_{X}-algèbres q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞) et

q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) sont canoniquement isomorphes par l’homomorphisme d’algèbres continu F_{π} défini par

F_{π}(P) = P si P ∈ D_{X/S,Q}^{†}
F_{π}(x_{i}) = \frac{−∂_{y_{i}}}{π}
F_{π}(∂_{x_{i}}) = πy_{i}

Démonstration. On se reportera à la fin de la démonstration de la proposition suivante pour vérifier que si P ∈ q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)(W) où W est un ouvert de X, alors

F_{π}(P) ∈ q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)(W) (le fait de rajouter des dérivations en les variables w ne change rien dans les formules).

5.1.2. Cas des opérateurs différentiels relatifs Dans ce cas, X = S. On suppose que sur un ouvert W de X, E est muni d’une base x_{1}, …, x_{N}, dont une base duale est notée y_{1}, …, y_{N}, les dérivations correspondantes sur Y_{W} et Y_{W}^{∨} étant respectivement notées ∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{N}} et ∂_{y_{1}}, …, ∂_{y_{N}}.

L’énoncé est alors le suivant.

Proposition 5.1.2.1. Les faisceaux de O_{X}-algèbres q_{1∗}D_{Y/X}^{†}(∞) et q_{2∗}D_{Y^{∨}/X}^{†}(∞) sont canoniquement isomorphes par l’homomorphisme d’algèbres continu F_{π} défini au-dessus d’un ouvert W de X tel que E_{W} soit muni d’une base x_{1}, …, x_{N}, par

F_{π}(P) = P si P ∈ O_{X}
F_{π}(x_{i}) = \frac{−∂_{y_{i}}}{π}
F_{π}(∂_{x_{i}}) = πy_{i}

Démonstration. Remarquons d’abord que cette application est bien définie et ne dépend pas du choix de la base. Si x′_{1}, …, x′_{N} est une autre base sur un ouvert W′ de X, dont y′_{1}, …, y′_{N} est la base duale, il existe une matrice de GL_{N}(W ⋂ W′, O_{X}) telle que l’on ait la relation suivante

(x′_{1}, …, x′_{N}) = (x_{1}, …, x_{N})A.

On en déduit les relations

(y′_{1}, …, y′_{N}) = (y_{1}, …, y_{N})^{t}A^{−1}  (3)
(∂_{x′_{1}}, …, ∂_{x′_{N}}) = (∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{N}})^{t}A^{−1}  (4)
(∂_{y′_{1}}, …, ∂_{y′_{N}}) = (∂_{y_{1}}, …, ∂_{y_{N}})A  (5)

On déduit de cela l’égalité matricielle suivante, en notant F_{π,\underline{x}} la transformation de Fourier relative aux x_{i} (resp. F_{π,\underline{x}′})

F_{π,\underline{x}}((x_{1}, …, x_{N})) = \frac{−1}{π}(∂_{y_{1}}, …, ∂_{y_{N}})
= \frac{−1}{π}(∂_{y′_{1}}, …, ∂_{y′_{N}})A^{−1}
= F_{π,\underline{x}′}((x′_{1}, …, x′_{N})A^{−1})
= F_{π,\underline{x}′}((x_{1}, …, x_{N})).

On montre de même que

F_{π,\underline{x}}((∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{N}})) = F_{π,\underline{x}′}(∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{N}}),

et que l’application ne dépend pas du choix d’une base. Au-dessus d’un ouvert W ⊂ X sur lequel E est libre on rappelle la description de Γ(W, D_{Y/X,Q}^{†}(∞)) établie en 2.3.4, on a

D_{Y/X,Q}^{†}(W) = \{ \begin{matrix}∑_{\underline{l},\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}^{[\underline{k}]} | a_{\underline{l},\underline{k}} ∈ O_{X}(W) et \\ ∃C > 0, η < 1 tels que |a_{\underline{l},\underline{k}}| < Cη^{|\underline{l}|+|\underline{k}|} \end{matrix} \} .

Soit P un opérateur de Γ(W, D_{Y/X,Q}^{†}(∞)). Si P = ∑_{\underline{l},\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}^{[\underline{k}]},

F_{π}(P) = ∑_{\underline{l},\underline{k}} a_{\underline{l},\underline{k}}(−1)^{|\underline{l}|} \frac{\underline{l}!}{π^{|\underline{l}|}} \frac{π^{|\underline{k}|}}{\underline{k}!} \underline{∂}_{y}^{[\underline{k}]}\underline{y}\underline{k}.

D’après les inégalités rappelées en 1.1, il existe des constantes strictement positives C, D > 0 telles que l’on ait l”inégalité, pour tous multi-indices \underline{l}, \underline{k}

v_{p}(a_{\underline{l},\underline{k}}) > C(|\underline{k}| + |\underline{l}|) − D − Nlog_{p}(|\underline{l}| + 1) − N + \frac{|\underline{k}|}{p − 1},

de sorte qu’il existe des constantes C′, D′ > 0 telles que l’on ait l’inégalité, pour tous \underline{k}, \underline{l} v_{p}(a_{\underline{l},\underline{k}}) > C′(|\underline{k}| + |\underline{l}|) − D′, ce qui montre que F(P) ∈ Γ(W, D_{Y/X,Q}^{†}(∞)). La transformation de Fourier formelle est donc bien définie dans ce cas. La question de savoir si c’est un isomorphisme de faisceaux d’algèbres est locale et se ramène au cas précédent.

5.1.3. Le foncteur “Fourier formel”. On se place dans l’un des deux cas précédents.

Si N est un faisceau de q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules (resp. un élément de

D_{coh}^{b}(q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞))), alors on pose

F_{π}^{∗}N = q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{q_{1∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)} N.

Comme F_{π} est un isomorphisme, F_{π} préserve la cohérence et si N ∈ D_{coh}^{b}(q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), alors F_{π}^{∗}(N) ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)). On définit aussi le fonc-

teur F_{π}^{∗} pour les modules à droite : si N est un faisceau de q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules à droite, on pose

F_{π,d}^{∗}N = N ⊗_{q_{1∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)} q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞),

qui préserve la cohérence et peut être défini pour les éléments de D_{coh,d}^{b}(q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) D’autre part, le foncteur F_{π}^{∗} commute trivialement à la dualité. L’énoncé est le suivant.

Proposition 5.1.3.1. i Si N ∈ q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞), il existe un isomorphisme canonique

F_{π,d}^{∗}Ext_{q_{1∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(N, q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) ≃ Ext_{q_{2∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(F_{π}^{∗}N, q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)),

ii si N ∈ D_{coh}^{b}(q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), il existe un isomorphisme canonique dans

D_{coh,d}^{b}(q_{2∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞))

F_{π,d}^{∗}RHom_{q_{1∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(N, q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) ≃ RHom_{q_{2∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(F_{π}^{∗}N, q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)).

Démonstration. Montrons (i). L’existence d’une flèche entre le terme de gauche et le terme de droite est classique car F_{π}^{∗} est un foncteur exact. L’assertion est locale sur Y^{∨}. Comme le faisceau q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞) est de dimension cohomologique finie, le faisceau N admet localement une résolution finie, libre de rang fini. Une récurrence sur la longueur de la résolution permet alors de conclure, puisque l’énoncé est trivial pour un module libre de rang fini. Le (ii) s’en déduit par dévissage.

5.2. Comparaison avec la transformation de Fourier formelle dans le cas d’une somme directe de D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

On montre la comparaison dans le cas où le fibré est trivial. La proposition est la suivante. Soit M = D_{Y/S,Q}^{†}(∞)^{i}, alors on a la proposition suivante

Proposition 5.2.1. Il existe un isomorphisme ne dépendant que du choix d’une trivialisation de E et de δ^{∗}L_{π}

F_{π}^{∗}q_{1∗}M[N − 2] ≃ q_{2∗}F_{π}(M).

Démonstration. Puisque le fibré est trivial, le choix d’une trivialisation de E permet d’identifier le faisceau D_{Z→Y^{∨}}^{†} à D_{Y^{∨}→Z}^{†}. Si M est un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent, il existe un morphisme α fonctoriel en M

\begin{matrix}Γ(Y, M) & → & Γ(Z, δ^{∗}L_{π} ⊗ D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗ p_{1}^{−1}M) \\ m & ↦ & 1 ⊗ 1 ⊗ m. \end{matrix}

d’où finalement un homomorphisme α′ : Γ(Y, M) → Γ(Y^{∨}, p_{2∗}D_{Y^{∨}←Z/S,Q}^{†}(∞)) ⊗

δ^{∗}L_{π} ⊗ D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞)) ⊗ p_{1}^{−1}M. Dans le cas où M = D_{Y/S,Q}^{†}(∞), le but de α′

s’identifie d’après le résultat précédent à Γ(Y^{∨}, F_{π}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞))[2 − N]) et donc à

Γ(Y^{∨}, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞))) via l’application β précédente. Le fait que α′ est une application continue est facile à voir. D’autre part, on a que α′(1) = 1. On identifie u ∈ End_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) à Γ(Y, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) opérant à droite sur D_{Y/S,Q}^{†}(∞).

Par fonctorialité de α′, et du fait que α′(1) = 1, on a un diagramme commutatif

\xymatrix{End_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) \ar[d] \ar[r]^{α′} & End_{D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}(D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)) \ar[d] \\ Γ(Y, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) \ar[r]^{α′} & Γ(Y^{∨}, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)),}

ce qui montre que α′ est un homomorphisme d’algèbres. Par continuité de α′, il suffit de calculer α′(x_{i}) et α′(∂_{x_{i}}). Or, α(x_{i}) = x_{i} de sorte que α′(x_{i}) = β^{−1}(∂_{y_{i}}/π) = −∂_{y_{i}}/π. D’autre part, α(∂_{x_{i}}) = ∂_{x_{i}} + πy_{i}, de sorte que α′(∂_{x_{i}}) = ∂_{x_{i}} + πy_{i} = πβ^{−1}(πy_{i}) = F (∂_{y_{i}}).

On en déduit l’assertion dans le cas d’un module libre de rang fini par fonctorialité de α.

5.3. Premières propriétés de la transformation de Fourier.

On étend le théorème de comparaison de la transformation de Fourier géométrique avec la transformation de Fourier formelle. On en déduit la préservation de la cohérence par la transformation de Fourier géométrique, ainsi que la préservation de l’holonomie.

Théorème 5.3.1. i Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent, alors F_{π}(M) est

un D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent concentré en degré 2 − N.

ii Si M ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), alors F_{π}(M) ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)).

iii Si M ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), et si le fibré vectoriel E est trivial, il existe un isomorphisme ne dépendant que du choix d’une trivialisation de E

F_{π}^{∗}Γ(Y, M)[N − 2] ≃ Γ(Y^{∨}, F_{π}(M)).

Démonstration. Le (i) résultera du théorème de comparaison précédent. La question est locale sur X de sorte que l’on peut supposer que X est muni de coordonnées globales. Par dévissage, le (ii) se ramène au (i). Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)- module cohérent. D’après 2.3.5, il existe une résolution finie de M, E_{•} par des modules libres de rang fini (ou globalement projectifs de rang fini). Comme p_{1} est lisse, il existe une résolution D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-linéaire où chaque complexe est concentré en degré 0

p_{1}^{!}[−N]E_{•} → D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{p_{1}^{−1}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)} p_{1}^{−1}M.

En tensorisant sur O_{Z,Q}^{†} par δ^{∗}L_{π} ce qui est exact, on en tire une résolution D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-linéaire

δ^{∗}L_{π} ⊗ p_{1}^{!}[−N]E_{•} → δ^{∗}L_{π} ⊗ D_{Z→Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{p_{1}^{−1}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)} p_{1}^{−1}M.

Soit C_{•} une résolution plate de ce complexe par des D_{Z/S,Q}^{†}(∞)-modules à gauche. Le complexe C_{i,_{•}} est une résolution plate de δ^{∗}L_{π} ⊗p_{1}^{!}[−N]E_{i}. En particulier, C_{i,j} est nul pour j ≤ −N −1 et le complexe C_{••} est à cohomologie bornée. Le complexe

C′_{••} = D_{Y^{∨}←Z,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Z/S,Q}^{†}(∞)} C_{••}

calcule donc

D_{Y^{∨}←Z,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Z/S,Q}^{†}(∞)} δ^{∗}L_{π} ⊗ p_{1}^{!}M[−N].

Soit D_{•••} une résolution de C′_{••} par des p_{2}^{−1}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-modules à gauche injectifs. Alors le complexe p_{2∗}D_{•••} calcule F_{π}(M)[2 − N]. Les sous-complexes p_{2∗}D_{i,••} calculent F_{π}(E_{i})[2−N] et sont acycliques sauf en degré 0 d’après 4.3.5. Finalement, le complexe F_{π}(M)[2 − N] est quasi-isomorphe au complexe F_{π}(E_{•})[2 − N] et est en particulier à cohomologie cohérente. Pour le calculer, il suffit donc de passer aux sections globales en vertu de l’équivalence de catégories 2.2.1. Or, d’après la proposition précédente, on a un isomorphisme naturel

F_{π}^{∗}RΓ(Y, E) ≃ RΓ(Y^{∨}, F_{π}(E_{•}))[2 − N].

En particulier, ce complexe est acyclique en degrés non nul et sa cohomologie en degré 0 est égale à F_{π}^{∗}Γ(Y, M). En outre, on peut prolonger α′ de Γ(Y, M) → RΓ(Y^{∨}, F_{π}(M)) en le définissant sur la résolution E^{•} et en vérifiant que cela ne dépend pas de la résolution. Ce que l’on vient de faire donne alors le fait que α′ est un isomorphisme.

Le corollaire suivant est alors formel.

Corollaire 5.3.2. Soit M ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)). Supposons que le fibré vectoriel E est trivial, alors il existe un isomorphisme ne dépendant que du choix d’une trivialisation de E

F_{π}^{∗}RΓ(Y, M)[N − 2] ≃ RΓ(Y^{∨}, F_{π}(M)).

Corollaire 5.3.3. Le foncteur F_{π}[2 − N] de la catégorie des D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules

cohérents vers la catégorie des D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents est exact.

Démonstration. L’assertion est locale sur la base X. On peut donc supposer que l’on est sur un ouvert W sur lequel le fibré vectoriel E est trivial. Dans ce cas, l’énoncé résulte du théorème de comparaison avec la transformation de Fourier formelle, du fait que les foncteurs q_{1∗} et q_{2∗} sont exacts et définissent une équivalence de catégories, et du fait que l’application F_{π} est un isomorphisme.

Outre les résultats de Baldassarri-Berthelot, une importante application de ce résultat est la préservation de l’holonomie par la transformation de Fourier. Pour faire cela, nous allons montrer que le théorème de comparaison avec la transformation de Fourier formelle commute à la dualité. Ceci se traduit par l’énoncé suivant

Proposition 5.3.4. Supposons que le fibré E soit trivial.

i Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent, alors il existe un isomorphisme

canonique de q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents

F_{π,d}^{∗}q_{1∗}Ext_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) ≃ q_{2∗}Ext_{D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}^{i}(F_{π}(M)[2−N], D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)).

ii Soit M ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), alors il existe un isomorphisme canonique dans

D_{coh}^{b}(q_{2∗}(D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)))

F_{π,d}^{∗}q_{1∗}RHom_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) ≃ q_{2∗}RHom_{D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}(F_{π}(M)[2−N], D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)).

Démonstration. La démonstration est formelle à partir des énoncés 2.4.1 et 5.1.3.1. On montre seulement (i). Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent. Alors on a la suite d’isomorphismes

q_{2∗}Ext_{D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}^{i}(F_{π}(M)[2 − N], D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞))
≃ Ext_{q_{2∗}D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}^{i}(q_{2∗}F_{π}(M)[2 − N], q_{2∗}D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞))
≃ Ext_{q_{2∗}D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}^{i}(F_{π}^{∗}(q_{1∗}M), F_{π}^{∗}(q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞)))
≃ F_{π,d}^{∗}Ext_{q_{1∗}D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(q_{1∗}M, q_{1∗}D_{Y/S,Q}^{†}(∞))
≃ F_{π,d}^{∗}q_{1∗}Ext_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)).

Le corollaire est la préservation de l’holonomie par transformation de Fourier pour un F -D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module holonome. L’énoncé est le suivant.

Proposition 5.3.5. Soit M un F -D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module holonome, alors F(M)[2 −

N] est un F -D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-module holonome.

Démonstration. On a déjà remarqué que la transformation de Fourier préserve la structure de Frobenius et la cohérence. La démonstration utilise ensuite la caractérisation des F -D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules holonomes de Virrion, qu’on trouve dans [Vir00]. Le module M est holonome sur T = Y \∞ si et seulement si

Ext_{D_{T /S,Q}^{†}}^{i}(M, D_{U,Q}^{†}(∞)) = 0 si i ≠ N + r.

Comme les faisceaux Ext_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) sont des D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules

cohérents, cela est équivalent par fidèle platitude de D_{T/S,Q}^{†} sur D_{Y/S,Q}^{†}(∞)

au fait que les faisceaux Ext_{D_{Y /S,Q}^{†}(∞)}^{i}(M, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) sont nuls sauf pour i =

N + r. D’après l’énoncé précédent on voit que la condition d’holonomie de M entraîne que les faisceaux q_{2∗}Ext_{D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}^{i}(F_{π}(M)[2 − N], D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)) sont

nuls sauf pour i = N + r et donc aussi les faisceaux de D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-modules

Ext_{D_{Y ^{∨}/S,Q}^{†}(∞)}^{i}(F_{π}(M)[2 − N], D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)).

6. Premiers exemples

L’exemple le plus important est donné par Baldassarri-Berthelot (cf 2.10 de [BB03] du présent volume) et concerne le transformé de Fourier du faisceau constant O_{Y,Q}^{†}. Notons ici que les conventions de décalage adoptées par Baldassarri-Berthelot pour la transformation de Fourrier ne sont pas les mêmes que les notres, ce qui explique qu’il n’y a pas de décalage par 2 − N dans leur énoncé.

6.1. Transformé de Fourier du faisceau constant.

Avec nos notations, identifions X à son image dans Y^{∨} par la section nulle et notons U = Y^{∨}\(∞ ⋃ X). La cohomologie locale surconvergente à support dans X_{0} d’un isocristal surconvergent E sur Y^{∨} le long de ∞ est donné par

R\underline{Γ}_{X_{0}}^{†}(E) = Rsp_{∗}(E → j_{U_{0}}^{†}(E)).

Dans le cas où E = O_{Y^{∨},Q}^{†}, on note les faisceaux de cohomologie locale à support dans X_{0} H_{X_{0}}^{†i}(O_{Y^{∨},Q}^{†}).

Théorème 6.2. (Baldassarri-Berthelot) Il existe un isomorphisme canonique de D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)-modules à gauche compatible au Frobenius

F_{π}(O_{Y,Q}^{†})[2 − N] ≃ H_{X_{0}}^{†N}(O_{Y^{∨},Q}^{†}).

Nous donnons quelques autres exemples. Ces exemples sont calculés grâce au théorème de comparaison avec la transformation de Fourier formelle. Nous n’avons pas vérifié la compatibilité à Frobenius pour ces énoncés.

6.3. Transformé de Fourier de l’isocristal de Dwork.

Soit Y = P̂_{V}^{1} la droite projective formelle, muni du diviseur à l’infini, T = Â_{V}^{1} l’ouvert complémentaire, muni de la coordonnée x. On suppose que le corps résiduel k contient les racines p − 1-ième de l’unité. Soit π′ ∈ K tel que π^{′p−1} = −p et −ζ′ la racine p − 1-ième de l’unité telle que π′ = −ζ′π. On note −ζ la classe de −ζ′ dans le corps résiduel k. Si p = 2, ζ = 1 et si p est impair ζ est une racine p − 1-ième de l’unité. Sur l’espace projectif rigide P_{K}^{1}, on considère le F -isocristal de Dwork associé à π′, L_{π′} et son image directe par spécialisation sur la droite projective formelle noté sp_{∗}L_{π}.

Proposition 6.3.1. Il existe un isomorphisme canonique

F_{π}(sp_{∗}L_{π′})[1] ≃ H_{ζ}^{†1}(O_{Y,Q}^{†}).

Démonstration. Le module sp_{∗}L_{π} est un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent (cf [Ber90]), dont Berthelot donne une résolution sur T (et sur Y \{0})

0 → D_{T/S,Q}^{†} →^{∂+π′} D_{T/S,Q}^{†} → sp_{∗}L_{π′} → 0,

où la dernière flèche est donnée par P ↦ P.1. On a déjà vu que ∂ ∈ Γ(Y, D_{Y/S,Q}^{†}),

si bien que la suite qui suit est un complexe de D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-modules cohérents

0 → D_{Y/S,Q}^{†}(∞) →^{∂+π′} D_{Y/S,Q}^{†}(∞) → sp_{∗}L_{π′} → 0,

qui est exact sur T, donc exact sur Y. On obtient ainsi une résolution de sp_{∗}L_{π′} sur Y. En passant aux sections globales et en notant A = Γ(Y, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)) = A_{K}^{1†}, on obtient la résolution suivante

0 → A →^{∂+π′} A → Dw_{π′} → 0,

où par définition, Dw_{π} = Γ(Y, sp_{∗}L_{π}) est égal à l’algèbre

C = {∑_{l} a_{l}x^{l} | a_{l} ∈ K et ∃C > 0, η < 1 tels que|a_{l}| < Cη^{l}} .

L’image inverse par F_{π}^{∗} de cette résolution est la résolution suivante

0 → A →^{πx+π′} A → F_{π}^{∗}Dw_{π′} → 0,

de sorte que F_{π}^{∗}Dw_{π′} admet la résolution suivante

0 → A →^{x−ζ′} A → F_{π}^{∗}Dw_{π′} → 0,

d’où une présentation de F_{π}(sp_{∗}L_{π′})[1] comme D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module à gauche. On voit alors par la proposition 2.9 de [BB03] (ou par un calcul direct) que F_{π}^{∗}Dw_{π′}[1] est isomorphe au groupe de cohomologie à support H_{ζ}^{†}(O_{Y,Q}^{†1}).

6.4. Transformé de Fourier de l’isocristal de Tate.

Soit α ∈ Z_{p} un entier non Liouville, t une coordonnée homogène sur la droite projective formelle Y = P̂_{V}^{1} , ∂ la dérivation par rapport à t, T′_{0} = P_{k}^{1}\{0, ∞}, v l’inclusion T′_{0} ⊂ Y_{0}, T = Y \{∞}. On note K_{α} l’isocristal surconvergent sur T′_{0} le long de {0, ∞} dont une réalisation sur P_{K}^{1,an} est donnée par v^{†}O_{P_{K}^{1,an}} muni de la connexion

∇(1) = at^{−1}dt.

On s’intéresse ici à v_{∗}^{†}K_{α} = sp_{∗}v^{†}K_{α}. Avec l’hypothèse que α est non Liouville, c’est un résultat dû à Laumon que le D_{Y/S,Q}^{†}-module v_{∗}^{†}K_{α} est cohérent. Le lemme

suivant permet de voir que ce module est un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent.

Lemme 6.4.1. Soit M un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module qui est un D_{Y/S,Q}^{†}-module cohérent,

alors M est un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent.

Démonstration. Il suffit de voir que l’on a un isomorphisme

D_{Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Y /S,Q}^{†}} M ≃^{φ} M,

via l’application φ : P ⊗ m ↦ P.m. Le module

N = D_{Y/S,Q}^{†}(∞) ⊗_{D_{Y /S,Q}^{†}} M

est un D_{Y/S,Q}^{†}(∞) cohérent. Il faut vérifier que φ est injectif. Soient P_{1}, …, P_{t} des

éléments de D_{Y/S,Q}^{†}(∞), m_{1}, …, m_{t} des éléments de M, et s = 1 ⊗ ∑_{i} P_{i}m_{i} −

∑_{i} P_{i} ⊗ m_{i} ∈ N. Le module L = D_{Y/S,Q}^{†}(∞).s ⊂ N est un sous-module de type

fini d’un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent et est donc un D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module cohérent. Or, en restriction à l’ouvert complémentaire du diviseur ∞, ce module est nul, si bien qu’il est nul. Cela montre l’identité 1 ⊗ ∑_{i} P_{i}m_{i} = ∑_{i} P_{i} ⊗ m_{i} et le fait que φ est injectif.

Une présentation sur T = Â_{V}^{1} est donnée par (cf 5.1 de [Ber90])

0 → D_{T/S,Q}^{†} ⟶^{.(t∂−α)} D_{T/S,Q}^{†}(∞) →^{φ} v_{∗}^{†}K_{α|T} → 0,

où φ est l’évaluation φ(P) = P.1 Du fait que t∂ −α ∈ Γ(Y, D_{Y/S,Q}^{†}(∞)), cette suite

donne alors une résolution de v_{∗}^{†}K_{α} comme D_{Y/S,Q}^{†}(∞)-module

0 → D_{Y/S,Q}^{†}(∞) ⟶^{.(t∂−α)} D_{Y/S,Q}^{†}(∞) →^{φ} v_{∗}^{†}K_{α} → 0.

Passons aux sections globales et appliquons F_{π}^{∗}, nous obtenons une résolution de Γ(Y^{∨}, F_{π}v_{∗}^{†}K_{α})

0 → Γ(Y^{∨}, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)) ⟶^{.(−∂t−α)} Γ(Y^{∨}, D_{Y^{∨}/S,Q}^{†}(∞)) →^{φ} Γ(Y^{∨}, F_{π}(v_{∗}^{†}K_{α})[1]) → 0.

La proposition est donc la suivante

Proposition 6.4.2. Il existe un isomorphisme canonique

F_{π}(v_{∗}^{†}K_{α})[1] ≃ v_{∗}^{†}K_{−α−1}.

7. Considérations sur le cas algébrique.

Dans tout ce qui suit, R est un corps de caractéristique 0 et on considère des schémas lisses sur S = specR. Nous expliquons dans ce cadre comment on peut démontrer algébriquement le théorème de comparaison entre la transformation de Fourier des D-modules et la transformation de Fourier formelle. Dans ce cas en effet, nous n’avons pas pu trouver de démonstration de ce théorème de comparaison en dimension N. Dans [KL85] par exemple, le théorème de comparaison est démontré dans le cas d’un fibré vectoriel trivial de rang 1. Ce théorème de comparaison entraîne la préservation de l’holonomie comme dans le cas précédemment traité.

Comme le formalisme dans le cadre algébrique est plus simple que dans le cas p-adique, nous ne détaillerons pas tous les points techniques de la démonstration et nous nous concentrerons sur le coeur de la démonstration qui est l’analogue du thèorème de division 4.3.4.1. On remarquera tout de même que dans le cas algébrique, il n’est pas nécessaire de se restreindre aux D-modules cohérents pour le théorème de comparaison, mais qu’on peut considérer les faisceaux de D-modules, qui sont des faisceaux de O-modules quasi-cohérents.

Soit Y un S-schéma lisse, μ(D_{Y}) la catégories des D_{Y} -modules, qui sont des O_{Y} - modules quasi-cohérents. On note D_{qcoh}^{b}(D_{Y}) la catégorie dérivée des complexes de D_{Y} -modules dont les modules de cohomologie sont bornés et éléments de μ(D_{Y}), et D_{coh}^{b}(D_{Y}) la catégorie dérivée des complexes de D_{Y} -modules à cohomologie bornée et cohérente. Si Y est affine, on rappelle l’équivalence de catégories suivante.

Théorème 7.1. Le foncteur Γ(Y, .) établit une équivalence de catégories de μ(D_{Y}) vers la catégorie des Γ(Y, D_{Y})-modules. Un foncteur quasi-inverse est le foncteur D_{Y} ⊗_{Γ(Y,D_{Y} )} .

Démonstration. Ce théorème se déduit par exemple de 3.1.3 de [Ber96b], et du fait que sur un schéma Y, un D_{Y} -module qui est O_{Y} -quasi-cohérent est limite inductive de D_{Y} -modules cohérents.

Soient X un schéma lisse sur S, et E un fibré vectoriel sur X. On suppose à partir de maintenant que Y = V(E) (resp. Y^{∨}) est le fibré vectoriel associé (resp. le fibré vectoriel dual associé) à E. On note q_{1} la projection canonique Y → X (resp. q_{2} la projection canonique Y^{∨} → X). Notons Z = Y ×_{X} Y^{∨} et p_{1}, p_{2} les projections sur Y et Y^{∨}. Si X est muni de coordonnées locales w_{1}, …, w_{r} sur un ouvert W et si E_{|W} est trivial de base x_{1}, …, x_{N}, on rappelle que le module des sections des opérateurs différentiels est une algèbre de Weyl

Γ(q_{1}^{−1}W, D_{Y/R}) = \{ ∑_{\underline{l},\underline{k}∈N^{N} ,\underline{k}′∈N^{r}} a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{\underline{k}′} \underline{∂}\underline{k} | a_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ O_{X}(W)\} .

Introduisons la droite affine A_{S}^{1}, t une coordonnée sur cette droite affine, le D_{A_{S}^{1}}- module exponentiel sur cette droite défini par la connexion ∇(1) = −dt et δ l’accouplement de dualité Y × Y^{∨} → A_{S}^{1}. En suivant les conventions de décalage de [KL85], on pose K = δ^{∗}L[2 − 2N] et pour M et N deux O_{Z}-modules, on pose

M ˜⊗_{O_{Z}} N = M ⊗_{O_{Z}}^{L} N [−2N].

On définit alors la transformation de Fourier de la façon suivante

Définition 7.1.1. Soit M un complexe de D_{qcoh}^{b}(D_{Y}), on pose

F(M) = p_{2+} (p_{1}^{!}(M) ˜⊗_{O_{Z}} K) .

Observons tout de suite que le foncteur F commute aux limites inductives filtrantes.

L’énoncé que l’on veut préciser est le suivant.

Théorème 7.2. i Soit M un D_{Y} -module cohérent (resp. un élément de μ(D_{Y})), alors F(M) est un D_{Y^{∨}}-module cohérent (resp. un élément de μ(D_{Y^{∨}})) concentré en degré 2 − N.

ii Si M ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y}) (resp. D_{qcoh}^{b}(D_{Y})), alors F(M) ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y^{∨}}) (resp. D_{qcoh}^{b}(D_{Y}^{∨})).

iii Si M ∈ D_{coh}^{b}(D_{Y}) (resp. D_{qcoh}^{b}(D_{Y})), et si le fibré vectoriel E est trivial, il existe un isomorphisme ne dépendant que du choix d’une trivialisation de E

F^{∗}Γ(Y, M)[N − 2] ≃ Γ(Y^{∨}, F(M)).

Commençons par quelques remarques :

i Comme les foncteurs considérés commutent aux limites inductives filtrantes, on est ramené à montrer cet énoncé dans le cas où M est cohérent (ou dans D_{coh}^{b}(D_{Y})). ii Les énoncés sont locaux sur la base X, ce qui nous permet de supposer que le fibré vectoriel E est trivial, de base x_{1}, …, x_{N} et de base duale y_{1}, …, y_{N} et que X est muni de coordonnées globales w_{1}, …, w_{r}. Les dérivations sur Z relatives à Y seront notées ∂_{x_{i}} pour 1 ≤ i ≤ N, celles relatives à Y^{∨}, ∂_{y_{j}} pour 1 ≤ j ≤ N, et les dérivations sur X/S seront notées ∂_{w_{l}} pour 1 ≤ l ≤ r. Le (i) se déduit alors de (ii) comme en 5.3. D’autre part, un D_{Y} -module cohérent admet une résolution finie par des modules projectifs de rang fini, de sorte que l’on est ramené à montrer (ii) dans le cas où M = D_{Y}.

Le calcul de F(D_{Y}) s’effectue alors comme en 4 et on voit que le complexe F(D_{Y}) est quasi-isomorphe au complexe L_{•} décrit comme suit. Les termes de ce complexe sont numérotés de N à 0 de façon décroissante. Le terme général de ce complexe est

L_{n} = p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z} ⊗_{O_{Z}} Λ^{n}T_{Z/Y})

et la différentielle est donnée par

d_{n}(P ⊗ ∂_{y_{i}} ∧ … ∧ ∂_{y_{in}}) = ∑_{l=1}^{n}(−1)^{l−1}P ∗ (∂_{y_{i_{l}}} + x_{i_{l}}) ⊗ ∂_{y_{i_{1}}} ∧ … ∧ ˆ∂_{y_{i_{l}}} ∧ … ∂_{y_{in}} .

On rappelle que la notation ∗ signifie que la multiplication à droite par ∂_{y_{i_{l}}} + x_{i_{l}} est obtenue par transposition. Si W′ est un ouvert affine de Y^{∨}, on a la description suivante

Γ(W′, p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z})) = \{ ∑_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{∂}_{w}^{\underline{k}′} \underline{∂}\underline{k} ; y | b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ Γ(W′, O_{Y^{∨}})\} .

En particulier, si W′ = Y^{∨}, on trouve

Γ(Y^{∨}, p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z})) = \{ ∑_{\underline{l}′,\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} c_{\underline{l}′,\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}}\underline{x}\underline{l}\underline{y}^{\underline{l}′} \underline{∂}_{w}^{\underline{k}′} \underline{∂}\underline{k} ; y | c_{\underline{l}′,\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} ∈ R\} .

Dans la suite, on fixe un ouvert W′ quelconque et on note A = Γ(W′, p_{2∗}(D_{Y^{∨}←Z})).

L’analogue du lemme de division 4.3.4.1 est tout à fait facile à montrer dans ce cas et donne l’énoncé suivant. On définit

A_{i} = \{P ∈ A | b_{\underline{l},\underline{k}′,\underline{k}} = 0 si k_{i} ≠ 0\}.

Cette algèbre est une sous-algèbre de A (et un sous Γ(W′, D_{Y^{∨}})-module).

Lemme 7.3. Il existe des applications Γ(W′, D_{Y^{∨}})-linéaires à gauche φ_{i} : A → A et ψ_{i} : A → A_{i} tels que, pour tout P ∈ A, P = φ_{i}(P) ∗ (∂_{y_{i}} + x_{i}) + ψ_{i}(P). D’autre part, on a la relation, si i ≠ k, φ_{i}(P ∗ (∂_{y_{k}} + x_{k})) = φ_{i}(P) ∗ (∂_{y_{k}} + x_{k}).

Il suffit alors de recopier la démonstration de 4.3.5 pour voir que le complexe L_{•} est acyclique et que la cohomologie en degré zéro de ce complexe, qui est égale à F(D_{Y})[2 − N], est isomorphe à D_{Y^{∨}}. Ces constatations achèvent de démontrer le théorème.

Une conséquence importante de ce résultat est la préservation de l’holonomie. La même démonstration qu’en 5.3.5 donne le fait suivant.

Proposition 7.4. Soit M un D_{Y} -module holonome. Alors F(M)[2 − N] est un D_{Y^{∨}}-module holonome.

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Christine Noot-Huyghe UFR de mathématiques Université de Rennes 1 campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex mél huyghe@univ-rennes1.fr, http ://www.maths.univ-rennes1.fr/˜ huyghe